Una pregunta de un documento de A. Dow de 2002

Question

Como explica el título, me gustaría entender el Ejemplo(4.3)(4), página 195 del documento. Sin embargo, la última parte no la puedo pasar que decía: Demostremos finalmente que $X$ no está generada débilmente de forma discreta.

Un espacio se llama débilmente generado discretamente si para cada $A\subset X$ con $cl(A)\not=A$ hay una discreta $D\subset A$ tal que $cl(D)\setminus A \not=\emptyset$ .

Aquí está el enlace de la ponencia . Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

$\newcommand{\cl}{\operatorname{cl}}\newcommand{\int}{\operatorname{int}}C$ es un subconjunto denso de $\beta\omega\setminus\omega$ de cardinalidad $2^\omega$ . $C$ es denso-en-sí-mismo, por lo que su topología relativa puede ser refinada a una topología máxima densa-en-sí-mismo $\mu$ . $X$ es $\langle\beta\omega\setminus\omega,\nu\rangle$ , donde $\nu$ es la topología generada por la subbase $\tau\cup\mu$ , donde $\tau$ es la topología habitual en $\beta\omega\setminus\omega$ .

Ahora dejemos que $x\in C$ y supongamos que $A\subseteq X\setminus\{x\}$ con $x\in\cl_\nu A$ . $C\in\mu\subseteq\nu$ Así que $C$ es un nbhd abierto de $x$ en $X$ . Sea $A_0=C\cap A$ y que $U$ sea cualquier nbhd abierto de $x$ Entonces $U\cap C$ es un nbhd abierto de $x$ Así que $$U\cap A_0=(U\cap C)\cap A\ne\varnothing\;,$$ y por lo tanto $x\in\cl_\nu A_0$ . Pero la topología relativa en $C$ como un subespacio de $X$ es $\mu$ Así que $\cl_\nu A_0=\cl_\mu A_0$ y $x\in\cl_\mu A_0$ .

Supongamos ahora que $A$ es discreto en $X$ claramente $A_0$ es discreto en $C$ . Supongamos que $y$ es un punto aislado de $C\setminus A_0$ Entonces $y$ tiene un nbhd abierto $U\subseteq\{y\}\cup A_0$ . Pero esto es imposible: claramente $U$ no puede ser denso en sí mismo, sino $C$ es denso en sí mismo, por lo que todo subconjunto abierto no vacío de $C$ es denso en sí mismo. Por lo tanto, $C\setminus A_0$ es denso en sí mismo. Sea

$$\begin{align*} \mu'&=\left\{U\cup\big(V\cap(C\setminus A_0)\big):U,V\in\mu\right\}\\ &=\left\{U\cup(V\setminus A_0):U,V\in\mu\right\}\;; \end{align*}$$

entonces $\mu'$ es una topología en $C$ , $\mu'\supseteq\mu$ y acabamos de demostrar que $\langle C,\mu'\rangle$ no tiene puntos aislados. Por la maximalidad de $\mu$ debemos tener $\mu'=\mu$ y por lo tanto $V\setminus A_0\in\mu$ es decir, $A_0$ está cerrado en $C$ . Esto contradice la hipótesis de que $x\in(\cl_\mu A_0)\setminus A_0$ , demostrando así que $A$ no puede ser discreto en $X$ y por lo tanto que $X$ no está generada débilmente de forma discreta. (En concreto, para cualquier $x\in X$ el conjunto $A=X\setminus\{x\}$ no cumple la condición de la definición 3.2: no hay ninguna $D\subseteq A$ tal que $(\cl D)\setminus A\ne\varnothing$ .)