Por qué $E|X-Y|^2 = 0$ implica $P(X=Y) = 1$

Question

¿Por qué $$\mathbb{E}|X(t)-Y(t)|^2 = 0$$ implica $$\mathbb{P}(X(t)=Y(t))=1$$ para todos $t$ .

Idea: Por Markov obtenemos $\mathbb{P}(|X-Y|^2 \geq a)=0$ , respectivamente $\mathbb{P}(|X-Y|^2 < a)=1$ con $a$ cualquier número real. Creo que este es un primer paso, pero ¿cuál es el siguiente paso y cómo se escribe matemáticamente correcto?

Answer 1

Por cada $n \geq 1$ , la desigualdad de Markov da $$\mathbb{P}\left(|X-Y|^2 \geq \frac{1}{n}\right) = 0$$

Por lo tanto, mediante la unión contable, se obtiene $$\mathbb{P}\left(\bigcup_{n \geq 1} \left\lbrace |X-Y|^2 \geq \frac{1}{n} \right\rbrace\right)=0$$

lo que equivale a $$\mathbb{P}(|X-Y|^2 > 0)= 0$$

es decir $$\mathbb{P}(|X-Y|^2 =0)= 1$$ es decir $$\mathbb{P}(X=Y)= 1$$