Prueba $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^k \frac{x}{x+k} = \prod_{k=1}^n \frac{k}{x+k}$ y más

Question

El número actual de la revista (vol. 120, no. 6) de la American Mathematical Monthly tiene una prueba probabilística significa que $$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^k \frac{x}{x+k} = \prod_{k=1}^n \frac{k}{x+k} $$ para todos los $x > 0$ y todos los $n \in \mathbb{N}$.

El artículo también menciona otras dos formas de probar esto, uno con funciones hipergeométricas y el Chu-Vandermonde fórmula, y la otra mediante el Arroz integral fórmula y complejo de contorno de integración.

Esto me hizo preguntarme si había más elementales formas de demostrar este resultado, y mi pregunta es un reto para encontrar el más elemental de la prueba.

Dos ideas que han ocurrido a mí son (1) el uso de la interpolación de Lagrange y (2) la inducción. Aún no he terminado una prueba, así que me estoy planteando el problema aquí.

Dice el artículo con sugerencias de pruebas los siguientes resultados:

$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^k \big(\frac{x}{x+k}\big)^2 = \big(\prod_{k=1}^n \frac{k}{x+k}\big)\big(1+\sum_{k=1}^n \frac{x}{x+k}\big) $$ y, para $m\in \mathbb{N}$, $$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^k \big(\frac{x}{x+k}\big)^m = \big(\prod_{k=1}^n \frac{k}{x+k}\big) \big(1+\sum_{j=1}^{m-1} \sum_{1\le k_1 \le k_2 \le ... \le k_j \le n} \frac{x^j}{\prod_{i=1}^j (x+k_i)}\big) $$

Lo (relativamente) primaria pruebas de estos hay?

Answer 1

$$\sum_{k=0}^n \dbinom{n}k p^k = (1+p)^n$$

$$\sum_{k=0}^n \dbinom{n}k (-1)^k = (1-1)^n=0$$

$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^k \frac{x}{x+k} =\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^k (1-\frac{k}{x+k} )= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^k -\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^k \frac{k}{x+k}= $$

$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^k \frac{x}{x+k} = -\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^k \frac{k}{x+k}= \sum_{k=1}^n \binom{n}{k}(-1)^{k+1} \frac{k}{x+k} \tag1$$

$$ \prod_{k=1}^n \frac{k}{x+k}= \frac{A_1}{x+1}+\frac{A_2}{x+2}+....+\frac{A_n}{x+n} $$

$$ A_1=(x+1)\prod_{k=1}^n \frac{k}{x+k} |_{x=-1}=\frac{n!}{(n-1)!}=n $$

$$ A_2=(x+2)\prod_{k=1}^n \frac{k}{x+k} |_{x=-2}=\frac{n!}{(-1)(n-2)!}=-n(n-1) $$

$$ A_3=(x+3)\prod_{k=1}^n \frac{k}{x+k} |_{x=-3}=\frac{n!}{(-1)(-2)(n-3)!}=+\frac{n(n-1)(n-2)}{2!} $$

$$ A_k=(x+k)\prod_{m=1}^n \frac{m}{x+m}|_{x=-k}=\frac{n!}{(-1)(-2)(-3)..(-(k-1))(n-k)!}=(-1)^{k+1}\frac{n!k}{1.2.3..(k-1).k(n-k)!}=(-1)^{k+1}\frac{n!k}{k!(n-k)!}=(-1)^{k+1}k\dbinom{n}k $$

$$ \prod_{k=1}^n \frac{k}{x+k}= \frac{A_1}{x+1}+\frac{A_2}{x+2}+....+\frac{A_n}{x+n}=\sum_{k=1}^n \frac{A_k}{x+k}=\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}(-1)^{k+1} \frac{k}{x+k} $$

Si usamos la ecuación 1

$$ \prod_{k=1}^n \frac{k}{x+k}= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^{k} \frac{x}{x+k} $$