¿Cómo introduzco los puntos finales en una serie de potencia?

Question

No entiendo cómo se pueden introducir los puntos finales en la serie de potencia original.

La serie de potencias original es $$\sum_{n=0}^\infty {(-1)^n x^n\over{n+1}}$$ Lo que tengo hasta ahora es esto:

He aplicado la prueba de la proporción

$$a_n= {(-1)^n x^n\over{n+1}}$$ $$\lim_{n\to\infty} |{a_{n+1}\over a_n}|= \lim_{n\to\infty} |{{(-1})^{n+1}x^{x+1} \over n+2} *{n+1 \over{(-1)^n}x ^n}| = \lim_{n\to \infty} |{x^{n+1}\over n+2}*{n+1 \over x^n}|$$ $$=\lim_{n \to \infty} |x*{n+1\over n+2}|= |x| \lim_{n\to \infty} {n+1\over n+2}$$ $$|x|\lt1 \Rightarrow -1 \lt x\lt 1$$ Ahora, aquí es donde estoy atascado. No sé cómo conectarlo a la serie original.

Cuando $x=-1$ $$\sum_{n=0}^\infty {(-1)^n (-1)^n\over{n+1}}$$ Y cuando $x=1$ $$\sum_{n=0}^\infty {(1)^n (-1)^n\over{n+1}}$$ y... ¿ahora qué? ¿Qué hago con las "n"?

Answer 1

Tenga en cuenta que $(-1)^n(-1)^n=(-1)^{2n}=1$ y se termina con la conocida (y divergente) serie armónica.

Answer 2

Cuando $x=-1$ :

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n+1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (-1)^n}{n+1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{2n} }{n+1} \\ =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1 }{n+1} \text{, it is the harmonic series,and we know that this diverges.}$$

Cuando $x=1$ :

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n+1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 1^n}{n+1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n }{n+1}, \text{ and,using the Dirichlet criterion,you can conclude that this series converges.}$$