Demuestre que d genera la topología discreta

Question

Sea X un conjunto cualquiera, y sea d la métrica discreta sobre X. Demuestre que d genera la topología discreta.

Sólo quiero saber si mi siguiente prueba es válida o no:

La topología discreta es el conjunto de potencias de X, que es el conjunto de todos los subconjuntos de X. Esto significa que en la Topología Discreta todos los conjuntos son abiertos. Con la Métrica Discreta todos los puntos pueden tener una bola con radio entre 0 y 1, que contendrá sólo ese punto individual. Esto conduce al hecho de que todos los conjuntos son tanto abiertos como cerrados bajo la Métrica Discreta. Por tanto, la métrica discreta genera la topología discreta.

Answer 1

Es correcto, pero es un poco farragoso y torpe. Aquí hay una forma más ordenada de decir exactamente lo mismo:

Dejemos que $x\in X$ sea arbitraria, y que $0<r\le 1$ Entonces $B_d(x,r)=\{x\}$ Así que $\{x\}$ es un conjunto abierto. Si $A\subseteq x$ entonces $A=\bigcup_{x\in A}\{x\}$ es una unión de conjuntos abiertos y, por lo tanto, abierta, por lo que todo subconjunto de $X$ está abierto, y $X$ tiene la topología discreta.

En realidad, sería perfectamente aceptable dejar de hacerlo una vez que se haya demostrado que cada singleton es abierto: de todos modos, eso se suele tomar como la definición de la topología discreta.

Answer 2

Este razonamiento parece bastante sólido. Se puede decir esto. Para todos los $x\in X$ , $$B_1(x) = \{x\},$$ por lo que todos los singletons son subconjuntos abiertos de $X$ . Como toda unión de conjuntos abiertos es abierta, todos los subconjuntos de $X$ están abiertos.