Que es la solución parcial de la oda de 4º orden

Question

Quiero resolver la oda $$y''''(t)+3y''(t)+y(t)=e^{-t}+t^2, \ \forall t>0$$ Primero tenemos que encontrar la solución del problema homogéneo utilizando el polinomio característico, ¿verdad?

Tenemos el polinomio característico $$\lambda^4+3\lambda^2+1=0$$ que tiene las soluciones $$\lambda=\pm i\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} \ \text{ and } \ \lambda=\pm i\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}$$ Así obtenemos la solución de la parte homogénea: $$y_h(t)=A\cos \left (\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} t\right )+B\sin \left (\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} t\right )+A\cos \left (\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} t\right )+B\sin \left (\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} t\right )$$ ¿Está todo correcto hasta ahora? ¿Cómo podemos encontrar la solución parcial?

Answer 1

Para las soluciones particulares de la ecuación $$y''''(t)+3y''(t)+y(t)=e^{-t}+t^2$$ se puede separar esta ecuación en dos ecuaciones: $$y''''(t)+3y''(t)+y(t)=e^{-t}$$ y $$y''''(t)+3y''(t)+y(t)=t^2,$$ y encontrar sus soluciones particulares por separado. Para la primera, se puede suponer que su solución particular es $y_1=a e^{-t}$ , y puedes conseguir $a=\frac{1}{5}$ . Para la segunda, se puede suponer que su solución especial es $y_2=at^2+b t+c$ , y podrá obtener su resultado. Por favor, hágalo usted mismo.

Entonces $$y=y_1+y_2$$ ¡es la solución particular de su ecuación!

Answer 2

Con $$\lambda=\pm i\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} \ \text{ and } \ \lambda=\pm i\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}$$

Usted tiene su $$y_c=A\cos \left (\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} t\right )+B\sin \left (\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} t\right )+A\cos \left (\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} t\right )+B\sin \left (\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} t\right )$$

correcto.

Para la solución concreta que considere $$y_p = Ae^{-t} + Bt^2+Ct+D$$ Introduce tu ecuación y encuentra los coeficientes.

Answer 3

Creo que la solución general de la parte homogénea debería ser $$y_h(t)=A\cos \left (\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} t\right )+B\sin \left (\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} t\right )+C\cos \left (\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} t\right )+D\sin \left (\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} t\right )$$ Cada combinación lineal de la solución fundamental es en sí misma una solución.

Puede encontrar una solución particular de la ecuación inhomogénea utilizando la variación de los parámetros. Denoto sus cuatro soluciones fundamentales por $u_1(t), u_2(t), u_3(t)$ y $u_4(t)$ . Utilice el ansatz $$y_p(t) =A(t)\cos \left (\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} t\right )+B(t)\sin \left (\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} t\right )+C(t)\cos \left (\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} t\right )+D(t)\sin \left (\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} t\right )$$ Dado que usted tiene $4$ incógnitas, se necesitan condiciones adicionales. Lo siguiente lo hará: $$A'(t) u_1(t) + B'(t) u_2(t) + C'(t) u_3(t) + D'(t) u_4(t) = 0$$ $$A'(t) u'_1(t) + B'(t) u'_2(t) + C'(t) u'_3(t) + D'(t) u'_4(t) = 0$$ $$A'(t) u''_1(t) + B'(t) u''_2(t) + C'(t) u''_3(t) + D'(t) u''_4(t) = 0$$

Junto con la ecuación inhomogénea, se obtiene que $y_p(t)$ es una solución si \begin{align*}A'u_1 + B'u_2 + C' u_3 + D'u_4&=0 \\\\ A'u'_1 + B'u'_2 + C' u'_3 + D'u'_4&=0 \\\\ A'u''_1 + B'u''_2 + C' u''_3 + D'u''_4&=0 \\\\ A'u'''_1 + B'u'''_2 + C' u'''_3 + D'u'''_4&=\mathrm{e}^{-t}+t^2 \end{align*}

No he intentado resolverlo, pero espero que tú puedas hacerlo :)