Demostrar que $L: V \rightarrow W$ es sobreyectiva si L es inyectiva

Question

Dejemos que $L: V \rightarrow W$ ser un inyectiva transformación lineal.

Dejemos que $\dim V , \dim W = n$ .

Demuestra que $L$ es suryente.

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Mis pensamientos:

Si $L(V)$ es la imagen de $V$ podemos demostrar que $L: V \rightarrow L(V)$ es una biyección y, por tanto, que $\dim L(V) = n$ . Y luego, a partir de ahí, tal vez puedas demostrar que $L(V)$ tiene que ser igual a $W$ (suryectiva) quizás con una prueba por contradicción pero no consigo que funcione...

Answer 1

Tienes la idea correcta. Cualquier $n$ -subespacio dimensional de un $n$ -El espacio vectorial de una dimensión debe ser el espacio completo. ¿Por qué? Bueno, suponga que tiene $w \in W$ que no está en $L(V)$ . A continuación, puede añadir $w$ a una base de $L(v)$ para formar un nuevo subconjunto de $W$ . Sin embargo, este subconjunto tiene ahora $n+1$ vectores linealmente independientes, una contradicción.

Answer 2

Una pista:

Tome una base $v_1,\dots,v_n$ de $V$ y demostrar que $L(v_1),\dots,L(v_n)$ es una base para $W$ .