Prueba $Q \rightarrow \neg(Q \rightarrow \neg P)$

Question

Tengo un ejercicio sobre la demostración de afirmaciones:

Supongamos que P es verdadera. Demostrar que Q ¬(Q ¬P ) es verdadero

Givens :

$P$

$Q \rightarrow \neg P$

Objetivo:

$\neg Q$

que simplemente pruebo by contrapositive de esta manera:

$Q \rightarrow \neg P$ equivale a $P \rightarrow \neg Q$ que es lo que queríamos probar, ¿no?

Answer 1

Veo que está demostrando $Q → ¬(Q → ¬P )$ por contraposición, dado $P$ como premisa.

Así que usted está tratando de demostrar, junto con la premisa $P$ , $\lnot\lnot (Q\rightarrow \lnot P) \rightarrow \lnot Q \iff (Q\rightarrow \lnot P) \rightarrow \lnot Q$

Ya casi has llegado.

Suponiendo que $P\rightarrow \lnot Q$ es ciertamente equivalente a asumir $ Q \rightarrow \lnot P$ .

Pero necesitamos algo más para concluir, por lo tanto $\lnot Q$ .

En concreto, suponiendo que $P\rightarrow \lnot Q$ ,

para usar junto con la premisa dada $P$ ,

por modus ponens, nos da $ \lnot Q, como se desee.

Answer 2

En el sistema que aprendí:

Supongamos que $P$

Supongamos que $Q$

Supongamos que $(Q \rightarrow \lnot P)$

Modus Ponens: $\lnot P$ . Contradicción por lo que retiramos $(Q \rightarrow \lnot P)$ y concluye

$\lnot(Q \rightarrow \lnot P)$

Así que la introducción de $\rightarrow$ regla: (retirar $Q$ y)

$Q \rightarrow \lnot(Q \rightarrow \lnot P)$

Answer 3

Recuerda que $\lnot X$ equivale a $X \to \bot$ . Utilizando la convención de que $A \to B \to C$ significa $A \to (B \to C)$ y ampliando las negaciones, quieres demostrar $$ P \to Q \to (Q \to P \to \bot) \to \bot $$ Recuerde también que $A \to B \to C$ equivale a $(A \land B) \to C$ Esto se llama "Currying". Usando Currying dos veces, usted quiere probar $$ (P \land Q) \to ((P \land Q) \to \bot) \to \bot $$ Aplicando Currying una vez más, quieres probar $$ ((P \land Q) \land ((P \land Q) \to \bot)) \to \bot $$ Esta fórmula final es un ejemplo del axioma lógico modus ponens: $(X \land (X \to Y)) \to Y$ .

Obsérvese que se trata de una prueba directa: no se ha utilizado ninguna contradicción ni contraposición.

Answer 4

$ \newcommand{\calc}{\begin{align} \quad &} \newcommand{\calcop}[2]{\\ #1 \quad & \quad \text{"#2"} \\ \quad & } \newcommand{\endcalc}{\end{align}} \newcommand{\Tag}[1]{\text{(#1)}} \newcommand{\true}{\text{true}} \newcommand{\false}{\text{false}} \newcommand{\then}{\to} \newcommand{\iff}{\leftrightarrow} $ En otro sistema de prueba que las respuestas anteriores: suponga $\;Q\;$ es verdadera, y simplificar el consecuente paso a paso (de bebé):

$$\calc \lnot(Q \then \lnot P) \calcop\iff{use assumption $ \;Q\; $} \lnot(\true \then \lnot P) \calcop\iff{simplify} \lnot \false \calcop\iff{simplify} \true \endcalc$$

Por lo tanto, $\;Q \then \lnot(Q \then \lnot P)\;$ .