Demostrar que la función soporte de un conjunto acotado es continua.

Question

La función de soporte de un conjunto $A \in \mathbb{R}^n$ se define de la siguiente manera

$$ S_A(x)=\sup_{y \in A} x^Ty $$ donde $x \in \mathbb{R}^n$ .

Demostrar que la función soporte de un conjunto acotado es continua.

He probado lo siguiente:

Dejemos que $A$ sea un conjunto acotado en $\mathbb{R}^n$ y $y \in A$ . Así que $\|y\| \leq M$ donde $M>0$ . (Si $M=0 \rightarrow \|y\|=0 \rightarrow y=0 \rightarrow S_A(x)=0\rightarrow S_A(x)$ es continua $\forall x$ ).

Dejemos que $\|x-x_c\|<\delta=\frac{\epsilon}{M}, \,\,\,\forall \epsilon>0$ sea una vecindad de $x_c$ donde $x_c \in \mathbb{R}^n$ .

Necesito demostrar que $$ |S_A(x)-S_A(x_c)|=|\sup_{y \in A} x^Ty-\sup_{y \in A} x_c^Ty|<\epsilon $$

¿Cómo puedo proceder?

Answer 1

Aquí hay una solución que se reduce a otro problema en este sitio: El supremo es continuo sobre una familia de funciones equicontinua

Paso 1: definir para cada $a\in A$ la función $f_a(x) = x \cdot a$ . Cada una de ellas es continua.

Paso 2: Demostrar que $S_A$ es el supremum de la familia $\{f_a\}$

Paso 3: Demostrar que porque $A$ está acotada, la familia no sólo es continua sino equicontinua.

Entonces, ¡concluya utilizando el enlace anterior!

Answer 2

Utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz podemos acotar $(x^{T}-x_c^{T})y$

$(x^{T}-x_c^{T})y\leq \|x^{T}-x_c^{T}\|\|y\| $

Desde $\|x^{T}-x_c^{T}\| < \delta$ tenemos lo siguiente

Así que

$$(x^{T}-x_c^{T})y \leq \|x^{T}-x_c^{T}\|\|y\| < \delta \|y\|$$

Así que $x_c^{T}y < \delta \|y\|+x_c^{T}y$ para todos $y$ en $A$ .

Toma sup sobre $y$

$$\sup_{y \in A} x_c^{T}y < \sup_{y \in A} (\delta \|y\|+x_c^{T}y) \leq \sup_{y \in A} \delta \|y\|+ \sup_{y \in A}x_c^{T}y$$

Así que

$$S_A(x) < \delta M + S_A(x_c)$$

Haga lo mismo para $(x_c^{T}-x^{T})y$ para conseguir

$$S_A(x_c) < \delta M + S_A(x)$$

Combínelos para obtener lo siguiente

$|S_A(x)-S_A(x_c)|<\delta M=\epsilon$ .