Rompecabezas de lanzamiento de monedas

Question

La probabilidad es una de mis áreas favoritas en matemáticas, por lo que siempre intento idear problemas por mi cuenta y tratar de resolverlos yo mismo, pero este es un verdadero reto.

Imagina que participas en un concurso para ver qué suerte/desgracia tienes. El presentador le da una moneda de feria y le dice que la lance 100 veces. Si precisamente 40 de las tiradas resultan en cara, ganas un millón de dólares. ¿Cuál es la probabilidad de que ganes?

Este rompecabezas es lo que yo llamo "las probabilidades de las probabilidades", en el que soy algo nuevo. ¿Puede alguien explicar cómo calcular la probabilidad paso a paso? Gracias.

Answer 1

Supongamos exactamente $40$ filps resultó en cabezas. Desde el primer lanzamiento hasta el $100$ -en el lanzamiento, hay exactamente $40$ lugares que el $i$ -El quinto lanzamiento dio como resultado una cara. Por lo tanto, el número de formas de elegir el $40$ lugares es igual a $100 \choose 40$ .

Para cada elección, calculamos la probabilidad y las sumamos todas.

Como cada lanzamiento de moneda es independiente de los demás, cada elección tiene una probabilidad de $(0.5)^{40}\cdot (0.5)^{60}$ .

Por lo tanto, la probabilidad global es ${100 \choose 40} \cdot 2^{-100} \approx 0.0108$ .

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Este es un ejemplo de distribución binomial . Generalmente, cuando realizamos $n$ ensayos independientes con probabilidad de éxito $p$ la probabilidad de que obtengamos exactamente $k$ ensayos exitosos es igual a

$${n \choose k} p^k (1-k)^{n-k}$$

El ${n \choose k}$ término es para cada disposición de los ensayos (exitosos/no exitosos) y $p^k$ es para tener éxito $k$ tiempos, $(1-p)^{n-k}$ es por fallar ${n-k}$ tiempos.

En la pregunta del OP, $n = 100$ , $k = 40$ , $p = 0.5$ . Si se introducen los valores se obtendrá la respuesta.