Garganta de desaparición del agujero de gusano Morris-Thorne

Question

Consideremos el agujero de gusano de Morris-Thorne dado por ( http://www.pas.rochester.edu/~tim/introframe/AmJPhysBlackHoles.pdf (Caja 2) $$ds^2 = -dt^2+dl^2+(l^2+b_0^2)(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)$$ donde $b_0$ es el radio de la garganta. Ahora, la componente del tensor de Einstien viene dada por $$-G_{tt} = -G_{ll} = G_{\theta\theta} = G_{\phi\phi} = \frac{b_0^2}{(b_0^2+l^2)^2}$$

Ahora, utilizando lo siguiente ( https://laces.web.cern.ch/laces09/notes/dbranes/lezionilosanna.pdf , Ec. 2.34, Ec. 2.35) $$\frac{z^2}{(z^2+x^2)^2} \overset{z\to 0}{\rightarrow} \frac{1}{z} \delta(x)$$

Tomo el límite donde el radio de la garganta del agujero de gusano desaparece y encontramos que

$$-G_{tt} = -G_{ll} = G_{\theta\theta} = G_{\phi\phi} \overset{b_0\to 0}{\rightarrow} \frac{1}{b_0}\delta(l)$$ que no es consistente porque en el mismo límite el agujero de gusano se convierte en una métrica de espacio plano. ¿Puede alguien proporcionar una resolución a esto?

Answer 1

Creo que la cuestión es que los siguientes límites:

• el cociente de diferencias necesario para calcular las derivadas de la métrica que alimentan el tensor de curvatura, $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{g_{\mu\nu}(h)-g_{\mu\nu}(0)}{h}$
• $b_0 \rightarrow 0$

no se desplazan. Como señala @Anders Sandberg en los comentarios, la razón por la que surge este problema es porque el límite del espacio plano del agujero de gusano de Morris-Thorne no sólo implica un cambio en geometría (es decir, la métrica), sino de la topología .

Se encuentra un problema al tomar la derivada primero y entonces enviando $b_0\rightarrow 0$ mientras que yo afirmo que el límite correcto para recuperar el espacio plano es enviar $b_0\rightarrow 0$ y entonces tomar la derivada. (En realidad, si haces eso literalmente, el límite del espacio plano es trivial, pero a continuación voy a esbozar una forma diferente de hacerlo para que la ambigüedad del orden sea más transparente).

Para explicarlo un poco más, el resultado de que la curvatura es infinita en $\ell=0$ en realidad hace tiene sentido si se considera que $b_0$ es la anchura del agujero de gusano, y que el límite $b_0\rightarrow 0$ nos está diciendo que consideremos un agujero de gusano de una anchura infinitesimal. Dado que el agujero de gusano es infinitamente estrecho, la curvatura asociada al agujero de gusano está confinada a un volumen infinitesimalmente pequeño, y diverge.

Se puede ver lo que ocurre de forma más explícita calculando algunos de los símbolos de Christoffel. Por ejemplo, \begin{equation} \Gamma^\theta_{\ell\theta} = \frac{1}{2}g^{\theta\theta} \partial_\ell g_{\theta\theta} = \frac{\ell}{\ell^2+b_0^2} \end{equation} Ahora vamos a diferenciar primero esto suponiendo que $-\infty < \ell < \infty$ que es apropiado para la geometría del agujero de gusano. Observamos que $\Gamma^\theta_{\ell\theta}$ es discontinuo en $\ell=0$ por lo que esperamos que $\ell$ derivadas para recoger una singularidad de tipo función delta en $\ell=0$ . Más explícitamente, el tensor de curvatura de Riemann implicará derivadas de los símbolos de Christoffel, como \begin{equation} \partial_\ell \Gamma^\theta_{\ell\theta} = -\frac{2\ell^2}{\left(\ell^2+b_0^2\right)^2} +\frac{1}{\ell^2+b_0^2} = \frac{-\ell^2 b_0^2}{\left(\ell^2 + b_0^2\right)^2} = \frac{\delta_{b_0}(\ell)}{b_0} + O(b_0^0) \end{equation} donde $\delta_{b_0}(\ell)/b_0$ es la representación de la función delta de la que hablaste en tu pregunta \begin{equation} \frac{\delta_{b_0}(\ell)}{b_0} \equiv \frac{b_0^2}{\left(\ell^2 + b_0^2\right)^2} \end{equation} y $O(b_0^0)$ representa los términos que son finitos, o que desaparecen, en el límite $b_0 \rightarrow 0$ . Así es como aparece la función delta en su resultado.

Sin embargo, para el espacio plano hacemos no quiere considerar toda la gama $-\infty \leq \ell \leq \infty$ . El límite de espacio plano del espaciotiempo debe considerar sólo una "hoja" del espaciotiempo, e ignorar la garganta. Podemos tener esto en cuenta considerando sólo la parte del espaciotiempo para $\ell \gg b_0$ y luego tomar el límite $b_0 \rightarrow 0$ y luego permitir $\ell$ para ir a cero (ya que si $b_0=0$ entonces $\ell$ puede hacerse arbitrariamente pequeño sin dejar de estar en el $\ell\gg b_0$ régimen). Si hacemos esto, entonces \begin{equation} \frac{b_0^2}{\ell^2 + b_0^2} \approx \frac{b_0^2}{\ell^2} \rightarrow 0 \end{equation} en el límite $b_0\rightarrow 0$ en lugar de una función delta.

Obviamente, esto es sólo un esbozo y no un argumento o prueba completa. Si quisieras formalizar más esto, creo que podrías decir que requerirás $\ell > k + b_0$ para alguna constante arbitraria $k$ y puedes hacer $b_0^2/(\ell^2+b_0^2)^2$ arbitrariamente pequeño eligiendo un $k$ . Entonces se toma el límite $b_0 \rightarrow 0$ y luego el límite $k\rightarrow 0$ . Yo tiendo a ser bastante físico y no estoy increíblemente interesado en el rigor matemático más allá de este punto (si fuera a depender de este límite como parte de alguna investigación, podría hacer algunos ejemplos numéricos para comprobar que estos límites realmente se pueden hacer de manera consistente en la forma en que estoy esbozando o tratar de encontrar un colaborador para ejecutar el argumento y pedirle que haga agujeros en él después de escribir los detalles con más cuidado), pero estoy seguro de que hay otros aquí que pueden dar un argumento más formal que el que estoy esbozando.

La moraleja es que se puede recuperar el espaciotiempo plano en el $b_0\rightarrow 0$ límite, pero hay que tener cuidado con el orden de los límites para que realmente se recupere el espaciotiempo plano, y no un espaciotiempo de Morris-Thorne con un agujero de gusano infinitamente estrecho.