¿Qué hace que una función de una matriz sea convexa?

Question

¿Cuándo es convexa la función de una matriz?

La función: $f(x) = x^T z + x^T \Sigma x $

$\Sigma$ es un $N \times N$ matriz y $x$ y $z$ son $N \times 1$ vectores.

He podido diferenciar la función dos veces y he llegado a $2\Sigma$ . Ahora me pregunto cómo podría saber qué tipo de matrices harían que la función original fuera convexa.

Answer 1

La función que has escrito no es una función de una matriz (aunque esté escrita en términos de una matriz) a menos que consideres los vectores como matrices.

Para responder a su segunda pregunta, $\Sigma$ debe ser semidefinido positivo para que el hessiano tenga sólo valores propios no negativos y, por tanto, sólo curvatura positiva y, por tanto, sea convexo.