Filtros de Cauchy en espacios métricos

Question

Algo de terminología: Sea $(X,d)$ sea un espacio métrico.

• Un filtro $\mathcal F \subseteq \mathcal P (X)$ es Cauchy si $\forall \epsilon >0 \exists x\in X: B_\epsilon(x)\in \mathcal F$ .
• Un filtro $\mathcal F \subseteq \mathcal P (X)$ es redondo si $\forall F\in \mathcal F \exists \epsilon>0 \forall x\in X:B_\epsilon(x)\in \mathcal F \implies B_\epsilon(x)\subseteq F$ .
• Un filtro Cauchy $\mathcal F$ se dice que mínimo si ningún filtro que esté correctamente contenido en él es Cauchy.

He encontrado un artículo que comenta, de hecho, que los filtros Cauchy redondos y los filtros Cauchy mínimos coinciden. Demostrar que un filtro de Cauchy redondo debe ser mínimo es sencillo. Pero no veo inmediatamente cómo demostrar la otra implicación. Entonces, ¿cómo se demuestra que un filtro Cauchy mínimo debe ser redondo? Además, cualquier referencia para las construcciones estándar de la convergencia de la teoría métrica mediante el uso de filtros (sé que no es estrictamente necesario, ya que las secuencias son suficientes, pero aún así, tengo curiosidad) es bienvenida. Gracias.

Answer 1

Supongo que sería fácil resolverlo remitiéndose a la finalización secuencial, pero eso podría considerarse una trampa.

Utilizaré $N_\epsilon(A)$ para denotar el $\epsilon$ -vecinos de un conjunto $A$ . Para un filtro determinado $\mathcal{F}$ la familia $\{ N_\epsilon(A) \mid \epsilon > 0,\, A \in \mathcal{F} \}$ es la base de un filtro $\mathcal{F}^\circ \subset \mathcal{F}$ . Evidentemente, si $\mathcal{F}$ es un filtro de Cauchy, entonces también lo es $\mathcal{F}^\circ$ .

Afirmo que $\mathcal{F}^\circ$ también es redonda.

Prueba: Tomar una $V \in \mathcal{F}^\circ$ . Por construcción, hay $\epsilon > 0$ y $A \in \mathcal{F}$ tal que $N_\epsilon(A) \subset V$ . Poner $\delta = \epsilon / 3$ . Ahora bien, si hay algún $x$ tal que $B_\delta(x) \in \mathcal{F}^\circ$ entonces $B_\delta(x)$ se encuentra con $N_\delta(A)$ lo que significa que $x \in N_{2\delta}(A)$ y por lo tanto $B_\delta(x) \subset N_\epsilon(A) \subset V$ .

Para concluir: para cada filtro de Cauchy hay un filtro de Cauchy más pequeño y redondo, por lo tanto cualquier filtro de Cauchy mínimo es redondo.

P.D.: No lo he investigado realmente, pero parece que esto podría aplicarse de forma más general a los espacios uniformes.