Dejemos que $\mathit T(x,y)$ significan que "x es profesor de y". ¿Son equivalentes las dos afirmaciones lógicas siguientes? $$ \exists!x\exists!yT(x,y) $$ y $$ \exists x\exists y\biggl(T(x,y) \land \lnot\Bigl(\exists u\exists v\bigl(T(u,v) \land (u\neq x \lor v \neq y\bigr)\Bigr)\biggr)$$ En mi clase se ha discutido mucho sobre este tema y todavía hay cierto debate sobre si ambos son equivalentes o no.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Daniel Schepler
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Examinemos la situación con el ejemplo que ha puesto en un comentario: $$M := \{ x, y, u, v, f \}, \\ T := \{ (x, y), (u, v), (u, f) \}.$$ Ahora, para evitar confusiones con los miembros de $M$ cambiemos el nombre de las variables para que la primera declaración diga $\exists! a \exists! b T(a, b)$ .
Para evaluar el valor de verdad de esta afirmación, empecemos por el cuantificador existencial único interno, $\exists! b T(a, b)$ . Esto tiene una variable libre $a$ y eventualmente necesitaremos su evaluación cuando $a$ abarca todos los valores de $M$ . Compruébalo: $$(\exists!b T(a, b))[a/x] = \exists!b T(x, b) = T,\\ (\exists!b T(a, b))[a/y] = \exists!b T(y, b) = F,\\ (\exists!b T(a, b))[a/u] = \exists!b T(u, b) = F,\\ (\exists!b T(a, b))[a/v] = \exists!b T(v, b) = F,\\ (\exists!b T(a, b))[a/f] = \exists!b T(f, b) = F.$$ A partir de esto, se puede concluir que $\exists! a \exists! b T(a, b)$ es cierto.
Sin embargo, como usted observa, $\exists a \exists b (T(a, b) \wedge \lnot(\exists c \exists d (T(c, d) \wedge (a \ne c \vee b \ne d))))$ es falso. Hacer esto con todo detalle como en la parte anterior requeriría más de $5^4$ evaluaciones, aunque es de esperar que quede claro que desde $T$ tiene más de un elemento, $\exists c \exists d (T(c, d) \wedge (a \ne c \vee b \ne d))$ siempre es cierto, no importa lo que sea $a$ y $b$ son, y de ahí se puede concluir que la afirmación general es falsa.
Intuitivamente, puedes pensar que el primer enunciado expresa "hay exactamente un profesor que tiene exactamente un alumno", mientras que el segundo enunciado expresa "hay exactamente un par profesor-alumno", y convencerte de por qué las dos ideas están expresando cosas diferentes.
Algunos otros contraejemplos que se pueden considerar: si el dominio del discurso es $\mathbb{N}$ entonces $\exists! x \exists! y, x \ge y$ es cierto, y también lo es $\exists! x \exists! y, x > y$ . Sin embargo, en ambos casos, existen claramente numerosos pares distintos de $x, y$ tal que $x \ge y$ o pares distintos de $x, y$ tal que $x > y$ .
En el ejemplo original de $M$ y $T$ arriba, tenemos $\exists! a \exists! b T(a, b)$ es cierto pero $\exists! b \exists! a T(a, b)$ es falso. Por lo tanto, $\exists! a$ y $\exists! b$ no se "desplazan".
La segunda afirmación anterior sería efectivamente una buena formalización de la noción de que existe una combinación única de $x$ y $y$ Satisfaciendo a $T$ . Por lo tanto, si eso era lo que querías decir en algún contexto, querrías evitar $\exists! x \exists! y$ porque eso no significa lo mismo. Es posible que vea anotaciones como $\exists! (x, y), T(x, y)$ para el segundo.
