Cuál es la forma convencional de escribir una base para un espacio vectorial de dimensión infinita.

Question

Supongamos que $\mathrm{R}$ un campo y que $V$ sea un espacio vectorial sobre $\mathrm{R}$ , dejemos que $(.)$ sea un producto interno arbitrario sobre $V$ .

Supongamos que $T:V\to V$ una transformación lineal, $\lambda \in \mathrm{R}$ un valor propio de $T$ , demuestre que $V_\lambda$ (eigenspace) es un subespacio invariante de $V$ .

La cuestión es bastante sencilla de resolver en dimensiones finitas (e infinitas), mi pregunta es cómo escribiría las notaciones para el infinito.

Dejemos que $V_\lambda = span \{v_1,v_2,\dots\}$ entonces para cualquier $u\in V$ , $u$ puede representarse como una suma de la base vectorial, $u=\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+\dots$

Entonces se deduce que $T(u)=T(\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+\dots)=T(\alpha_1v_1)+T(\alpha_2v_2)+\dots$

Todo $v_i$ son vectores propios de $T$ Por lo tanto, existe $\beta_i$ tal que $T(v_i)=\beta v_i$ se deduce que

$T(u)=\alpha_1\beta_1v_1+\alpha_2\beta_2v_2+\dots\in V_\lambda$

Dos preguntas, ¿es correcta la notación para vectores infinitos? $\dots$ con cualquier otra cosa? y ¿cómo puedo saber siquiera la base para $V_\lambda$ existe? para las dimensiones infinitas seguro, ¿puedo asegurarlo para las infinitas?

Answer 1

No es una respuesta a la pregunta (sobre cómo escribir una base), sino el comentario adicional sobre este problema:

Supongamos que $T:V\to V$ una transformación lineal, $\lambda \in \mathrm{R}$ un valor propio de $T$ , demuestre que $V_\lambda$ (eigenspace) es un subespacio invariante de $V$ .

Prueba. Definición: $$ V_\lambda = \big\{u \in V\;:\; T(u) = \lambda u\big\} . $$ Para mostrar $V_\lambda$ es invariante debemos demostrar: si $u \in V_\lambda$ entonces $T(u) \in V_\lambda$ .

Dejemos que $u \in V_\lambda$ . Entonces $T(u) = \lambda u$ . Calcular (utilizando la linealidad de $T$ ): $$ T(T(u)) = T(\lambda u) = \lambda T(u) $$ y eso significa $T(u) \in V_\lambda$ . QED.

(Como dije en mi comentario, utilizar una base para demostrar esto no es la mejor manera de hacerlo).

Answer 2

Como se ha comentado, este problema es mucho más fácil si no se utilizan bases. Pero permíteme comentar lo que has hecho:

La notación $V_\lambda = span \{v_1,v_2,\dots\}$ no es correcto ya que sugiere que $V_\lambda$ tiene un contable base, lo que no tiene por qué ser el caso.

La notación $u=\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+\cdots$ no es incorrecto, pero parece anticuado. Para asegurarse de que se trata de una suma finita (aunque la base sea infinita), escriba $u=\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+\cdots+\alpha_m v_m$ . Obsérvese que por definición $span(S)$ es el conjunto de todas las combinaciones lineales finitas de elementos de $S$ .

La prueba que ofrece no es correcta porque $v_i \in V_\lambda$ y así $T(v_i)=\lambda v_i$ es decir, el $\beta_i$ son todos iguales y esto es lo que hace que la prueba funcione.

La existencia de bases para espacios vectoriales de dimensión infinita se desprende del axioma de elección (y en realidad es equivalente a él), normalmente en forma de lema de Zorn.