Primas de $\Bbb R[x]$ y la teoría de Galois en términos de esquemas afines

Question

Quiero encontrar todos los ideales primos de $\Bbb R[x]$ . Estos son generados por los polinomios irreducibles mónicos. Dado que $\Bbb C/\Bbb R$ es una extensión de grado dos y es algebraicamente cerrada, cualquier otra extensión algebraica de $\Bbb R$ debe ser de grado $2$ o $1$ Así que, o bien es $\Bbb R/\Bbb R$ o es isomorfo a $\Bbb C$ . Entonces cualquier polinomio irreducible mónico en $\Bbb R[x]$ tiene un grado como máximo de dos (de lo contrario, obtendríamos $\Bbb R[x]/(f)$ una extensión algebraica de grado superior a dos que es imposible). Entonces, como $\text{Gal}(\Bbb C/\Bbb R)$ se genera por conjugación, y este polinomio mónico de grado dos no puede tener ningún $\Bbb R$ -raíces, las raíces deben ser conjugadas complejas.

Entonces $\text{Spec}(\Bbb R[x])=\{(0),(x-a),(x^2-2ax+a^2+b^2)\mid a\in \Bbb R, b\in \Bbb R\backslash\{0\}\}$ . ¿Es esto correcto?

Entonces $\Bbb A^1_{\Bbb R}$ parece $\Bbb C$ con todos los puntos reales $(x-a)$ en la línea real, pero identificamos puntos que son complejos conjugados - así que en cierto sentido nos quedamos con el medio plano superior $\mathcal{H}=\{a+bi\mid a\in\Bbb R, b\in\Bbb R_{\geq 0}\}\subset \Bbb C$ .

Además, en general, para $K$ un campo que no es algebraicamente cerrado, ¿hay una manera de tratar la teoría de las extensiones de Galois $L/K$ en términos de automorfismos de $\text{Spec}(K[x])$ ? Parece que los puntos cerrados que no son de codimensión uno codifican una acción de Galois en ese punto? Como estos $(x^2-2a+a^2+b^2)$ puntos ya pueden ver el $\Bbb C$ -puntos conjugados en $\Bbb C[x]$ .

Answer 1

Supongamos que $K$ es un campo y $L/K$ es una extensión de Galois. Tomemos cualquier $L$ -punto racional de $K$ -esquemas en $\Bbb{A}^1_K=\mathrm{Spec}(K[x])$ , es decir, un $K$ -morfismo de álgebra $\mathrm{Spec}(L) \to \mathrm{Spec}(K[x])$ que corresponde a un morfismo $\phi:K[x] \to L$ . Entonces $\ker(\phi)$ es un ideal máximo en $K[x]$ de la forma $\ker(\phi)=(f)$ donde $f$ es irreducible sobre $K$ , pero se divide en $L$ . Sea $\alpha_1, \dots, \alpha_n \in L$ sean las raíces de $f$ . Entonces podemos tomar el morfismo $\mathrm{Spec}(L[x]) \to \mathrm{Spec}(K[x])$ y mira la fibra sobre $(f)$ . Obtenemos $$\mathrm{Spec}(\kappa(f)) \otimes_{K[x]} \mathrm{Spec}(L[x]) \cong \mathrm{Spec}(L[x]/(f))=\coprod_{i=1}^n\mathrm{Spec}(L[x]/(x-\alpha_i))$$ Así, la proyección $\mathrm{Spec}(\kappa(f)) \otimes_{K[x]} \mathrm{Spec}(L[x]) \to \Bbb{A}^1_L$ corresponde a la inclusión de las raíces de $f$ . (Que vienen dados por la órbita de Galois de $\alpha_1$ ) Si tenemos alguna $L$ -punto racional de $\Bbb{A}^1_L$ (que es necesariamente de la forma $(x-a)$ para un único $a \in L$ ), entonces podemos componer con $\mathrm{Spec}(L[x]) \to \mathrm{Spec}(K[x])$ para obtener un $L$ -punto racional de $\Bbb{A}^1_K$ (que será $(f)$ para $f$ el polinomio mínimo de $a$ en $K$ ) y luego aplicar la construcción anterior para obtener la órbita de Galois de $a$ .

Para resumir esto, hay un diagrama conmutativo $$\require{AMScd} \begin{CD} L @>{\cong}>> \Bbb{A}^1_L(L)\\ @VVV @VVV\\ L/G @>>{\cong}> \Bbb{A}^1_K(L) \end{CD}$$ Dónde $G=\mathrm{Gal}(L/K)$ y $L \to L/G$ es el mapa que envía un elemento de $L$ a su órbita de Galois y el mapa $\Bbb{A}^1_L(L) \to \Bbb{A}^1_K(L)$ está dada por la composición con $\Bbb{A}^1_L \to \Bbb{A}^1_K$

Si $L$ es algebraicamente cerrado, entonces $\Bbb{A}^1_K(L)$ corresponde a todos los puntos cerrados de $\Bbb{A}^1_K$ . (En general, sólo corresponde a aquellos puntos cerrados cuyo campo de residuos se incrusta en $L$ ) Incluso si $L/K$ no es separable, la construcción anterior funciona, pero dará lugar a fibras no reducidas. (Las extensiones no separables corresponden geométricamente a la ramificación)