Análisis real: Demuestra que esta función debe cambiar de signo alrededor de algún punto

Question

Estoy tratando de probar la siguiente pregunta:

Supongamos que $f : \mathbb{R} \mathbb{R}$ satisface $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ y $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ . Demostrar que existe un número $\beta$ tal que para todo $\epsilon > 0$ existe un $r \in (0, \epsilon)$ tal que $f(\beta r) \leq 0 f( + r)$ .

Lo que tengo ahora mismo:

Si la función $f$ es continua, entonces es fácil mediante el uso de IVT. Si $f$ no es continua, estaba pensando en poner $$ \beta = \sup\{x: f(x) \leq 0\}. $$

Pero esto no parece funcionar ya que si $$ f(x) = x, \ x \in (-\infty, 1) \cup (1, \infty) $$ y $$ f(1) = -1, $$ entonces $\beta = 1$ y hay una vecindad de $\beta$ donde no se cumple la condición requerida.

¿A alguien se le ocurre otra ruta? Muchas gracias.

Answer 1

Dejemos que $X = \{x : \exists b > a > x: \forall y \in (a; b): f(x) \leqslant 0\}$ - puntos que tienen un intervalo completo de valores no positivos de $f$ a la derecha de ellos. Deja que $\beta = \sup X$ . Tenga en cuenta que $\beta \notin X$ (de lo contrario, también tendríamos $\frac{\beta + a}{2} \in X$ con su correspondiente $a$ ).

Tomemos algunas $\varepsilon$ . Toma $x \in (\beta - \varepsilon; \beta) \cap X$ y luego $b > a > x$ tal que $f$ es no positivo en $(a; b)$ . Tenemos $b < \beta$ Si no es así $\frac{\beta + b}{2}$ sería en $X$ .

Ahora, como $\beta \notin X$ Hay algunos $y \in (2\beta - b; 2\beta - a)$ [segmento simétrico a $(a; b)$ con $\beta$ como centro de simetría] tal que $f(y) > 0$ . Entonces toma $r = y - \beta$ y tenemos $\beta - r \in (a, b)$ , $\beta + r = y$ Así que $f(\beta - r) \leqslant 0$ y $f(\beta + r) > 0$ .