En la definición de la gavilla de la estructura al $Spec A$

Question

Que $A$ ser un anillo (conmutativo con $1$), $X=Spec A$ queremos sujetar un haz de anillos a $X$. Si $f\in A$, $D(f)=X\setminus V(f)$ es un elemento de la base y definir %#% $ #%

Tengo problemas para mostrar que $$\mathcal O_X(D(f)):=A_f$ está bien definida en el conjunto de $\mathcal O_X(\cdot)$. Si $\mathcal B=\{D(f)\,:\, f\in A \}$, entonces es fácil demostrar que $D(f)=D(g)$, pero estos dos anillos no es iguales, así que tenemos que $A_f\cong A_g$ incluso si son isomorfos. ¿Libros de texto dicen «podemos identificar $\mathcal O_X(D(f))\neq \mathcal O_X(D(g))$ $A_f$» pero qué significan exactamente con la palabra "identifica»?

Answer 1

Desde $A_f,A_g$ son localizaciones de la $A$, hay casi un homomorphism de $A$-álgebras de entre $A_f$$A_g$. Por lo tanto, todas las identificaciones entre ellos son compatibles el uno con el otro. Así que no hay daño para identificar a $A_f$ $A_g$ al $D(f)=D(g)$.

Sin embargo, siempre me pregunto por qué este enfoque de la estructura de la gavilla es tan popular. Como se observa, no está claro por qué esto está bien definido en el sentido habitual de esta palabra. Y también es muy torpe! En su lugar, usted puede hacer lo siguiente:

1) Definir el $\mathcal{O}_X(U)$ a ser el conjunto de todas las funciones de $s$$U$$s(\mathfrak{p}) \in A_{\mathfrak{p}}$, que localmente $s$ es igual a una fracción en $A_f$. Los detalles se pueden encontrar en Hartshorne del libro, por ejemplo.

2) Deje $S_U = A \setminus \cup_{\mathfrak{p} \in U} \mathfrak{p}$$\mathcal{O}'(U) = A[S_U^{-1}]$. A continuación, $\mathcal{O}'$ es un presheaf de los anillos, y definir $\mathcal{O}$ a los asociados gavilla. Los detalles se pueden encontrar en MO/80548.