Dejemos que $G$ sea el gráfico cuyos nodos son los puntos de $\mathbb{Z}^d$ en el ortante no negativo (es decir, todas las coordenadas son $\ge 0$ ), con aristas que conectan cada par de puntos separados por una distancia unitaria. Por tanto, el grado de cada nodo que no está en la frontera es $2d$ . Ahora, elimine cada nodo con probabilidad $\delta$ , excepto que siempre se mantiene el origen $o=(0,0,\ldots,0)$ . Sea $G_\delta$ sea el componente conectado a $o$ .
Q1 . Hace $G_\delta$ contienen un camino simple desde el origen de longitud infinita?
La longitud de un camino es su número de aristas. Un camino simple no se cruza a sí mismo. En $d{=}1$ la respuesta es "No" para cualquier $\delta > 0$ , porque eventualmente la serie de nodos conectados a $o$ será se romperá. Por lo tanto, es casi seguro que todo camino tiene una longitud finita. La situación es menos clara para $d \ge 2$ . Algunos experimentos sugieren provisionalmente que para $d{=}2$ y $\delta=\frac{1}{2}$ la respuesta es de nuevo "No".
Si la respuesta a la primera pregunta es "No", se debe deje que $r(d,\delta)$ sea el radio de $G_\delta$ definida como la longitud esperada del más largo de los caminos más cortos desde $o$ en $G_\delta$ .
Q2 . ¿Qué es? $r(d,\delta)$ ?
Para $d{=}1$ Creo que el radio es $$\sum_{k=1}^{\infty} k (1-\delta)^k \delta = (1-\delta)/\delta \;.$$ Por ejemplo, $r(1,\frac{1}{4})=3$ . El $d{=}2$ El ejemplo siguiente muestra un camino más corto de longitud 18 que conecta $(0,0)$ a $(10,4)$ . (Amarillo=nodos eliminados, verde=componente conectado al origen, azul=no eliminado pero desconectado del origen). He producido este ejemplo con $\delta=0.55$ .
Sospecho que estas cuestiones se han abordado en la literatura sobre grafos aleatorios, con los que no estoy tan familiarizado. Cualquier referencia, reformulación, idea de prueba o solución parcial ( $d{=}2$ y $d{=}3$ son de especial interés para mí), se agradecería. Gracias.
Editar . Gracias por todas las referencias y correcciones. Por lo que he aprendido hasta ahora, el modelo que he definido se conoce como percolación del sitio en la literatura (en contraste con percolación de bonos ). Mi restricción al ortante positivo no se sigue generalmente en la literatura, pero eso pero, aparte, hay mucho que se sabe y mucho que se desconoce. En general hay una probabilidad crítica $\delta_c$ para cada dimensión $d$ que responde a mi primera pregunta: para $\delta < \delta_c$ , el origen pertenece a una componente infinita con probabilidad positiva, y para $\delta > \delta_c$ pertenece a un componente finito con probabilidad $1$ . Sorprendentemente, los valores exactos de $\delta_c$ para la percolación del sitio en $\mathbb{Z}^d$ para $d \ge 2$ no se conocen. Para $d=2$ se estima mediante simulaciones numéricas que es de 0,59; para $d=3$ es de aproximadamente 0,31.
