¿Qué uso para encontrar la imagen y el núcleo de una matriz dada?

Question

Tenía un par de preguntas sobre un problema de matriz. Lo que se me da es:

Consideremos una transformación lineal $T: \mathbb R^5 \to \mathbb R^4$ definido por $T( \vec{x} )=A\vec{x}$ , donde $$A = \left(\begin{array}{crc} 1 & 2 & 2 & -5 & 6\\ -1 & -2 & -1 & 1 & -1\\ 4 & 8 & 5 & -8 & 9\\ 3 & 6 & 1 & 5 & -7 \end{array}\right)$$

1. Encuentre $\mathrm{im}(T)$

2. Encuentre $\ker(T)$

Mis preguntas son:

¿Qué quieren decir con el transformación ?

¿Qué uso para encontrar realmente el imagen et kernel ¿Y cómo lo hago?

Answer 1

Después de una larga noche de estudio, por fin he descubierto la respuesta a estos. Las respuestas anteriores sobre la transformación eran todas buenas, pero tengo los pasos descritos sobre cómo encontrar $\mathrm{im}(T)$ et $\ker(T)$ .

$$A = \left(\begin{array}{crc} 1 & 2 & 2 & -5 & 6\\ -1 & -2 & -1 & 1 & -1\\ 4 & 8 & 5 & -8 & 9\\ 3 & 6 & 1 & 5 & -7 \end{array}\right)$$

(1) Encontrar $\mathrm{im}(T)$

$\mathrm{im}(T)$ es lo mismo que el espacio de la columna o $C(A)$ . El primer paso para conseguirlo es tomar la Transposición de $A$ .

$$ A^T = \left(\begin{array}{crc} 1 & -1 & 4 & 3 \\ 2 & -2 & 8 & 6 \\ 2 & -1 & 5 & 1 \\ -5 & 1 & -8 & 5 \\ 6 & -1 & 9 & -7 \end{array}\right)$$

Una vez hecho esto, el siguiente paso es reducir $A^T$ a la Forma de Echelon de Fila Reducida

$$ \mathrm{rref}(A^T) = \left(\begin{array}{crc} 1 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -3 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$

ahora en este paso honestamente no sé las razones detrás de él, pero lo siguiente que haces es tomar las filas y esa es tu respuesta. así que eso:

$$\mathrm{im}(T)\ = \begin{align*} \operatorname{span}\left\{\left(\begin{array}{crc} 1 \\ 0 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right), \left(\begin{array}{crc} 0 \\ 1 \\ -3 \\ -5 \end{array}\right)\right\} \end{align*}$$

(2) Encontrar $\ker(T)$

$\ker(T)$ acaba siendo el mismo que el espacio nulo de la matriz, y lo encontramos tomando primero la forma de Echelon de fila reducida de A

$$ \mathrm{rref}(A) = \left(\begin{array}{crc} 1 & 2 & 0 & 3 & -4\\ 0 & 0 & 1 & -4 & 5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$

lo utilizamos para resolver los valores de $\mathbb R^5$ para que obtengamos

$$\begin{align*} \left(\begin{array}{crc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{array}\right) = r\left(\begin{array}{crc} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + s\left(\begin{array}{crc} -3 \\ 0 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + t\left(\begin{array}{crc} 4 \\ 0 \\ -5 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \end{align*}$$

a partir de eso ordenamos los vectores y obtenemos nuestra respuesta los vectores y eso nos da nuestra respuesta

$$\begin{align*} \ker(T) = \operatorname{span}\left\{\left(\begin{array}{crc} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \left(\begin{array}{crc} -3 \\ 0 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \left(\begin{array}{crc} 4 \\ 0 \\ -5 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right\} \end{align*}$$

y eso es todo.

Answer 2

Qué quieren decir con la transformación $T$ es la transformación que se induce al multiplicar por $A$ . Se puede comprobar que la multiplicación de matrices es de hecho un mapeo lineal, y en nuestro caso particular tenemos el mapeo lineal $T:\ \mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ .

La imagen se define entonces como el conjunto de todas las salidas del mapeo lineal. Es decir $$\operatorname{Im}(T) = \left\{\mathbf{y}\in \mathbb{R}^4\ \big|\ \mathbf{y} = A\mathbf{x}\ \text{such that}\ \mathbf{x}\in\mathbb{R}^5 \right\}$$ Si juegas un poco con el mapeo, deberías descubrir que la imagen es, de hecho, un subespacio muy familiar asociado a la matriz $A$ (echa un vistazo a cómo el mapeo $T$ actúa sobre la base estándar).

El núcleo se define correspondientemente como el conjunto de todas las entradas que se llevan a cero. $$\ker(T) = \left\{\mathbf{x}\in \mathbb{R}^5\ \big|\ A\mathbf{x} = \mathbf{0} \right\}$$ De nuevo, existe un subespacio familiar de la matriz $A$ asociado con el núcleo, mira cuidadosamente la definición y deberías ser capaz de averiguar lo que es.

Answer 3

Por transformación lineal, se entiende una función entre espacios vectoriales que satisface $T(cx + y) = cT(x) + T(y)$ . En nuestro caso, esta transformación es la multiplicación por la matriz $A$ .

La imagen es el conjunto de todos los puntos de $\mathbb{R}^4$ que se obtiene al multiplicar esta matriz por puntos en $\mathbb{R}^5$ , puede encontrarlos comprobando la matriz en la base estándar.

El núcleo es el conjunto de todos los puntos de $\mathbb{R}^5$ tal que, multiplicando esta matriz con ellos se obtiene el vector cero. De nuevo puedes encontrar esto de forma similar.

Answer 4

Podría dar una explicación para la respuesta más apreciada de por qué la imagen se calcula de esta manera. La imagen de una matriz es básicamente todos los vectores que se pueden obtener después de esta transformación lineal. Digamos que $A$ es un $2 \times 2$ matriz $$A=\pmatrix {a_1 & b_1\\ a_2 & b_2}$$ . Si aplicamos A como una transformación lineal a la base estándar, también conocida como la matriz identidad, obtenemos la propia A. Sin embargo, podríamos considerar esta transformación como la que transforma los vectores base a todas las columnas que tiene A. (1, 0) a (a1, a2), (0, 1) a (b1, b2). Por lo tanto, la imagen de A es sólo el span de los vectores base después de esta transformación lineal; en este caso, span ((a1, a2), (b1, b2)). Esta es la razón por la que necesitamos obtener rref de la transposición de A. Simplemente estamos obteniendo vectores base linealmente independientes después de esta transformación lineal. Si hay algo que no está claro, te recomiendo que veas este video hecho por 3Blue1Brown, que muestra esto de una manera visual. Aquí está el enlace: https://www.youtube.com/watch?v=uQhTuRlWMxw