definición de Funtores Exactos de izquierda (derecha)

Question

Dejemos que $P,Q$ sean categorías abelianas y $F:P\to Q$ sea un functor aditivo. Wikipedia establece dos definiciones sobre funtores exactos a la izquierda (dualmente a la derecha):

1. $F$ es izquierda exacta si $0\to A\to B\to C\to 0$ es exacta implica $0\to F(A)\to F(B)\to F(C)$ es exacta.
2. $F$ es izquierda exacta si $0\to A\to B\to C$ es exacta implica $0\to F(A)\to F(B)\to F(C)$ es exacta.

Además, afirma que ambas son definiciones equivalentes. Soy bastante nuevo en este tema, así que no estoy seguro de si esto está inmediatamente claro o no. Seguramente, 2. $\implies$ 1., siendo el caso más general. Pero no veo cómo acercarse siquiera a la otra dirección; ¿es esto meramente tautológico?

Answer 1

Supongamos que 1. se mantiene. Primero observe que $F$ preserva los monomorfismos: Si $i : A \to B$ es un monomorfismo, entonces $0 \to A \xrightarrow{i} B \to \mathrm{coker}(i) \to 0$ es exacta, por lo que también $0 \to F(A) \to F(B) \to F(\mathrm{coker}(i))$ es exacta. En particular $F(i)$ es un monomorfismo.

Ahora bien, si $0 \to A \xrightarrow{i} B \xrightarrow{f} C$ es exacta, entonces $0 \to A \xrightarrow{i} B \xrightarrow{f} \mathrm{im}(f) \to 0$ es exacta, por lo tanto, por la suposición $0 \to F(A) \to F(B) \to F(\mathrm{im}(f))$ es exacta. Como $F(\mathrm{im}(f)) \to F(C)$ es un monomorfismo, se deduce que también $0 \to F(A) \to F(B) \to F(C)$ es exacta.

Answer 2

Una pista: Dejemos que $0\to A\overset f\to B\overset g\to C$ para ser exactos. Significa que $f=\ker g$ Ahora consideremos la factorización canónica de $g$ , dejando que $C':={\rm im\,} g$ y $g':B\to C'$ (en una categoría de módulos es sólo $g'(b):=g(b)$ para todos $b$ ). Entonces, tenemos que $0\to A\overset f\to B\overset {g'}\to C'\to 0$ es exacta. Aplica la hipótesis sobre esto.