Estimación del módulo de las raíces de $\sinθ_1z^3+\sinθ_2z^2+\sinθ_3z+\sinθ_4=3$

Question

Si $_1,_2,_3,_4$ son cuatro números reales, entonces cualquier raíz de la ecuación

$$\sin_1z^3+\sin_2z^2+\sin_3z+\sin_4=3$$

que se encuentra dentro del círculo unitario $\vert z\vert$ =1, ¿qué desigualdad satisface?

A) $\vert z\vert$ < $\frac{2}{3}$

B) $\vert z\vert$ > $\frac{2}{3}$

C) $\vert z\vert$ < $\frac{1}{2}$

D) Ninguna de ellas

Recientemente hemos pasado ecuaciones de grado 3,4 y sé que son como máximo 4 raíces las que satisfacen la ecuación. ¿Qué significa que se encuentran en el círculo unitario $\vert z\vert$ =1? ¿Supongo que tiene que ver con los números complejos?

Answer 1

Estoy asumiendo que por $\sin \theta_1 z^3$ nuestra OP Jackie quiere decir $z^3 \sin \theta_1$ y así sucesivamente; con este entendimiento, tenemos la ecuación dada

$z^3 \sin \theta_1 + z^2 \sin \theta_2 + z \sin \theta_3 + \sin \theta_4 = 3; \tag{1}$

tomando los valores absolutos y utilizando la desigualdad del triángulo (varias veces) se obtiene

$3 = \vert 3 \vert \le \vert z^3 \sin \theta_1 \vert + \vert z^2 \sin \theta_2 \vert + \vert z \sin \theta_3 \vert + \vert \sin \theta_4 \vert; \tag{2}$

ahora si aplicamos repetidamente la igualdad $\vert xy \vert = \vert x \vert \vert y \vert$ , $x, y \in \Bbb C$ a (2) obtenemos

$3 \le \vert z \vert^3 \vert \sin \theta_1 \vert + \vert z \vert^2 \vert \sin \theta_2 \vert + \vert z \vert \vert \sin \theta_3 \vert + \vert \sin \theta_4 \vert. \tag{3}$

Tenemos $\vert \sin \theta_i \vert \le 1$ , $1 \le i \le 4$ Así pues, si $\vert z \vert \le 2/3$ (3) se obtiene

$3 \le (\dfrac{2}{3})^3 + (\dfrac{2}{3})^2 + \dfrac{2}{3} + 1; \tag{4}$

Sin embargo, la suma de los tres primeros términos de la derecha de (4) es

$\dfrac{8}{27} + \dfrac{4}{9} + \dfrac{2}{3} =\dfrac{38}{27} < 2, \tag{5}$

por lo que (4) se convierte en

$3 \le \dfrac{38}{27} + 1< 2 + 1 = 3. \tag{6}$

(6) claramente no ocurre; esta contradicción muestra que debemos tener

$\vert z \vert > \dfrac{2}{3}; \tag{7}$

por lo que (B) es la opción correcta.

Vale la pena observar que con $\theta_i = \pi/2$ , $1 \le i \le 4$ En efecto, existe una solución real $r$ a (1) satisfaciendo $2/3 < r < 1$ esto puede verse aplicando el teorema del valor intermedio al polinomio

$p(r) = \sum_0^3 r^i, \tag{8}$

que satisface $p(2/3) = 65/27 < 3$ , $p(1) = 4$ . Esto demuestra que, al menos, para algunos valores de $\theta_i$ Hay una solución. $z$ a (1) con $\vert z \vert < 1$ El problema no es vacío.

Como comentario final, y para responder a las dos últimas preguntas de Jackie, recordamos que para $z = a + bi$ , $\vert z \vert = \sqrt{a^2 + b^2}$ ; diciendo $z$ se encuentra dentro del círculo unitario, lo que significa que $a^2 + b^2 < 1$ o $a^2 + b^2 \le 1$ Dependiendo de cómo se interprete la palabra "dentro", esto tiene mucho que ver con los "números complejos".

Espero que esto ayude. Saludos,

y como siempre

¡¡Fiat Lux!!