Demostrar que $f(\overline C ) \subset \overline{ f(C)}$ .

Question

Demostrar que $f: A \to B$ es continua si su gráfica es compacta donde $A$ es compacto y $A,B$ son espacios métricos.

Mi intento: Ya lo he probado. Pero de alguna manera no estoy satisfecho con mi prueba. La parte que implica está bien. Pero en la parte inversa quiero demostrar que f es continua usando $f(\overline C) \subset \overline{ f(C)}$ .

Para esto tomé $C\subset E$ arbitraria. Sea $T=\{(x, f(x)):\, x \in C\}$ , $F=\{(x, f(x)): x \in \overline{C}\}$ . Ahora $\overline T$ es cerrado en el gráfico(f), por lo que es compacto. No puedo seguir adelante. Por favor, dame una pista.

Answer 1

Intentaré demostrar lo que dice el título cuando $f$ es continua.

Si $x\in f(\overline{A})$ entonces existe $a\in \overline{A}$ tal que $f(a)=x$ Ahora, como está en el cierre, tenemos $$\forall U \mbox{ open set containing } a \mbox{, } U\cap A\not=\emptyset$$ Ahora, tomado un conjunto abierto $V$ que contiene $x$ ya que $f$ es continua, $f(V)^{-1}$ es un conjunto abierto que contiene $a$ Así que, como vimos $A\cap f(V)^{-1} \not=\emptyset$ .

Ahora, tomando su imagen, $f(\emptyset)\not=f(A\cap f(V)^{-1}) \subseteq f(A)\cap V$ Así que cada $V$ se cruza con $f(A)$ Por definición $x$ está en el cierre de $f(A)$

He demostrado que $x\in f(\overline{A}) \Rightarrow x\in \overline{f(A)}$ Esto significa $f(\overline{A})\subseteq \overline{f(A)}$ .

Answer 2

Como se ha señalado en los comentarios, no creo que lo que se pide demostrar resuelva realmente la cuestión deseada. Así que voy a utilizar secuencias para demostrar su pregunta. Supongamos que tu gráfica es compacta. Ten en cuenta que, como estamos tratando con espacios métricos, tenemos la propiedad de Bolzano-Weierstrass (en el sentido de que toda secuencia en nuestro grafo tiene una subsecuencia convergente).

Dejemos que $C \subset f(A)$ sea cerrado y que $x_n \in f^{-1}(C)$ con $x_n \rightarrow x \in A$ . Como nuestro grafo es compacto entonces la secuencia $(x_n, f(x_n))$ tiene una subsecuencia convergente en el gráfico de $f$ es decir $(x_{n_k}, f(x_{n_k})) \rightarrow (x,y)$ que debe estar en el gráfico de $f$ ya que nuestro gráfico es cerrado. Pero entonces $(x,y) = (x,f(x))$ y $f(x_{n_k}) \rightarrow f(x)$ entonces $f(x) \in C$ . Por último, esto significa que $x \in f^{-1}(C)$ Por lo tanto $f^{-1}(C)$ está cerrado y $f$ es continua.