Encuentre el determinante de $N \times N$ matriz

Question

Tengo lo siguiente $N \times N$ matriz. \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & a_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & 0 & a_2 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots& &\ddots& \vdots\\ 1 & 0 & 0 & \ldots & a_n \\ \end{vmatrix}

Parece que hay un patrón para el determinante de la $5 \times 5$ versión de esta matriz, pero no estoy seguro de cómo encontrar el determinante de la $N \times N$ uno.

Answer 1

Transformar la matriz mediante la operación (invariante del determinante) de sumar $-a_i$ veces el $(i+1)$ de la primera fila. Esto nos da \begin{vmatrix} -\sum_i \frac{1}{a_i} & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & a_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & 0 & a_2 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots& &\ddots& \vdots\\ 1 & 0 & 0 & \ldots & a_n \\ \end{vmatrix} Entonces se tiene una matriz triangular inferior cuyo determinante es sólo el producto de los elementos diagonales.

Answer 2

Puedes determinar el patrón utilizando la fórmula de Leibniz para el determinante. Ésta viene dada por $$|A| = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma)A_{1\sigma(1)}A_{2\sigma(2)} \cdots A_{n\sigma(n)}$$ donde $A$ es un $n \times n$ matriz. Lo que hace esta fórmula es, esencialmente, elegir exactamente un elemento de cada fila y cada columna, multiplicarlos todos juntos y, a continuación, sumar todos los productos posibles que se pueden formar de esta manera, multiplicados por un signo que refleja el signo de la permutación que se necesitó para formar cada producto.

Como hay tantos ceros en esa matriz, se desechan muchos términos posibles en esta fórmula. En particular, bajando por la primera columna de esa matriz, para cada entrada podemos considerar todos los posibles productos que incluyen esa entrada (y según la fórmula, ninguna otra entrada de esa columna). (Haciendo esto recursivamente se obtiene la fórmula de expansión del cofactor de Laplace para el determinante). Como la primera entrada de esa columna es cero, no obtenemos nada de esto. Para cada $i$ A partir de ese momento, miramos todos los posibles productos de elementos con exactamente una entrada de cada fila y columna restante. Para cada columna, las únicas opciones posibles son $a_j$ o 1, y de hecho la única columna para la que puede ser uno es la $i$ columna (no puede ser $a_i$ para esa columna ya que $a_i$ proviene del $i$ de la fila, de la que ya se ha escogido una entrada de la primera columna). Por lo tanto, el único producto posible que podemos formar es el de multiplicar todos los $a_j$ 's juntos, a excepción de $a_i$ . Dejar $p = a_1a_2\cdots a_n$ según el comentario de egreg, esto parece $p/a_i$ . Ahora tenemos que preguntarnos cuál es el signo de la permutación que nos dio este producto en particular. La mayoría de las entradas de este producto se encuentran a lo largo de la diagonal principal, por lo que su fila tiene el mismo índice que su columna. Por tanto, corresponden a elementos fijos de la permutación, que no afectan al signo. De hecho, para cada producto sólo hay dos columnas de las que se escoge una entrada de una fila con un índice diferente, y esto corresponde a una transposición. Por lo tanto, el signo es siempre impar. Esto nos da la fórmula $$\sum_{i=1}^n p/a_i$$ como se ve en el comentario de egreg.