Propiedad integral compleja básica

Question

Estoy intentando aprender análisis complejo con el libro de texto de Alfohrs y tengo dudas sobre la demostración de esta propiedad:

Cuando $a\leq b$ la desigualdad fundamental

(1) $|\int_a^b f(t)dt| \leq \int_a^b |f(t)|dt$ se mantiene para un complejo arbitrario $f(t)$ .voy a copiar la prueba dada por Alfohrs:

Para ver esto, elegimos $c=e^{-i\theta}$ con un verdadero $\theta$ y encontrar $Re[e^{-i\theta}\int_a^b f(t)dt]=\int_a^b Re[e^{-i\theta}f(t)]dt\leq \int_a^b |f(t)|dt$ . Para $\theta=arg\int_a^bf(t)dt$ la expresión de la izquierda se reduce al valor absoluto de la integral y resulta (1).

Agradecería que alguien me explicara claramente o me demostrara estas dos cosas: $\int_a^b Re[e^{-i\theta}f(t)]dt\leq \int_a^b |f(t)|dt$ No veo y no podría mostrar esta desigualdad por mí mismo.

La segunda cosa que no pude entender es: $\theta=arg\int_a^bf(t)dt \implies Re[e^{-i\theta}\int_a^b f(t)dt]=|\int_a^b f(t)dt|$

Tal vez estas dos cosas sean triviales pero realmente no puedo entenderlas, cualquier explicación y prueba es muy bienvenida.

Answer 1

Tenemos $\int_a^b\operatorname{Re}(e^{-i\theta}f(t))dt \leq \int_a^b|f(t)|dt$ porque

$$\operatorname{Re}(e^{-i\theta}f(t)) \leq \sqrt{\operatorname{Re}(e^{-i\theta}f(t))^2} \leq \sqrt{\operatorname{Re}(e^{-i\theta}f(t))^2 + \operatorname{Im}(e^{-i\theta}f(t))^2} = |e^{-i\theta}f(t)| = |f(t)|.$$

En cuanto a su segunda pregunta, tenga en cuenta que $\int_a^bf(t)dt \in \mathbb{C}$ Así que $\int_a^bf(t)dt = re^{i\theta}$ para algunos $r \geq 0$ y $\theta = \arg\int_a^bf(t)dt$ . Entonces tenemos

$$e^{-i\theta}\int_a^bf(t)dt = e^{-i\theta}re^{i\theta} = r = \left|re^{i\theta}\right| = \left|\int_a^bf(t)dt\right|.$$

En particular, $\operatorname{Re}\left(e^{-i\theta}\int_a^bf(t)dt\right) = \left|\int_a^bf(t)dt\right|$ .