Características de un anillo de cociente

Question

Supongamos que $R$ es un anillo conmutativo (con unidad) de característica $0$ y que el conjunto $Z$ de los divisores de cero en $R$ forma un ideal. ¿Se deduce que la característica de $R/Z$ es $0$ ?

De forma equivalente (con menos palabrería), supongamos que el homomorfismo de anillo $\iota:\mathbb{Z} \to R$ inyecta. ¿Se deduce que $\iota(m)$ es no un divisor cero, para todo $m$ ?

Esta proposición es válida cuando todos los divisores cero son nilpotentes:

Ejemplo: Supongamos que $Z = \mathrm{nil}(R)$ el nilradical de $R$ . Entonces $Z$ es un ideal, y si $\iota(m) \in Z$ entonces $\iota(m^n)=0$ . Aquí $\mathrm{char}(R)=0$ fuerzas $m^n=0$ Así que $m=0$ y $\mathrm{char}(R/Z)=0$ .

Si esta proposición no se mantiene bajo mis hipótesis dadas, agradecería un contraejemplo o una nueva hipótesis sobre $Z$ algo más restrictivo que $Z$ formando un ideal y menos restrictivo que $Z =\mathrm{nil}(R)$ .

Answer 1

No. Considera $R = \mathbb{Z}[t]/(m t)$ para cualquier número entero $m > 1$ junto con la inclusión natural $\mathbb{Z} \hookrightarrow R$ .

Answer 2

El conjunto de divisores de R no contiene 0, por lo que no es un subring de R