Si tenemos $A_{n \times n}$ y $AX-XA=A$ ¿Cómo demostramos que $\det(A)=0$ ?

Question

Si tenemos $A_{n \times n}$ y $AX-XA=A$ ¿Cómo demostramos que $\det(A)=0$ ?

He intentado tomar el rastro en ambos lados para conseguir

$$tr(AX)-tr(XA)=tr(A)$$ $$tr(AX)-tr(AX)=tr(A)$$ $$0=tr(A)$$

Sin embargo, eso no demuestra necesariamente que $\det(A)=0$

Answer 1

Reescribe la ecuación como $A (X-I) = XA$ . Si $A$ es no singular, lo que implica que $X - I = A^{-1} X A$ es decir $X$ es similar a $X-I$ . Eso dice $\lambda$ es un valor propio de $X$ si y sólo si $\lambda$ es un valor propio de $X-I$ es decir $\lambda+1$ es un valor propio de $X$ . Pero esto es imposible, ya que significaría $\lambda+n$ es un valor propio de $X$ para cada número entero $n$ pero $X$ sólo tiene un número finito de valores propios.

Answer 2

Similar a la respuesta de Robert Israel, pero sin utilizar explícitamente los valores propios: Si $A$ fueran invertibles, podríamos multiplicar la ecuación dada a la derecha por $A^{-1}$ para conseguir $AXA^{-1}-X=I$ . Tomando el rastro de ambos lados y recordando que $AXA^{-1}$ tiene la misma traza que $X$ (y esa traza es lineal), obtenemos que la traza de la matriz identidad es $0$ una contradicción.

[Tecnicismo pedante: Esa "contradicción" final supone que no permites $0\times0$ matrices. Si las permite, el resultado es falso, ya que la hipótesis se mantiene cuando ambas $A$ y $X$ son la matriz vacía, pero el determinante de la matriz vacía es $1$ .]

Answer 3

Supongamos que $\det A \ne 0$ .

Multiplicación por la izquierda $A^{-1}$ a ambos lados de $AX - XA = A$ tenemos $X - A^{-1}XA = I$ .

Multiplicación por la derecha $A^{-1}$ a ambos lados de $AX - XA = A$ tenemos $AXA^{-1} - X = I$ .

Súmalos para obtener $AXA^{-1} - A^{-1}XA = 2I$ .

Tenga en cuenta que $\mathrm{Tr}(AXA^{-1}) - \mathrm{Tr}(A^{-1}XA) = \mathrm{Tr}(X) - \mathrm{Tr}(X) = 0$ , y $\mathrm{Tr}(2I) \ne 0$ .

Contradicción. (Q. E. D.)