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2 votos

¿Cuál de los dos métodos es correcto y por qué?

Problema

Se baraja una baraja y se divide en dos mitades de 26 cartas cada una. Se extrae una carta de una de las mitades, que resulta ser un as. El as se coloca entonces en la segunda mitad de la baraja. La mitad se barajada y se extrae una carta de ella. Calcule la probabilidad de que esta carta extraída sea un as.

mi intento:-

dejemos que A = número de ases en la segunda baraja antes de que se le añada un as
dejemos que B = número de ases en la primera baraja antes de que se elimine un as de la misma
que D = caso de que se saque un as de la segunda baraja después de que se le añada un as

Ahora, lo que se nos pide es encontrar: 3i=0P(A=i|B>0)P(D)=3i=0P(A=i|B>0)i+127

ahora, hay dos maneras de calcular P(A=i|B>0)

  1. (Protocolo A)restringir el espacio de la muestra manera:- como B tiene al menos un as, restringimos el espacio muestral a 51 cartas de las cuales 3 son ases. P(A=i|B>0) = \frac{{{3}\choose{i}}{{48}\choose{26-i}}}{{{51}\choose{26}}}
  2. (Protocolo B) P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} :- P(A=i|B>0) = \frac{P(A=i\cap B>0)}{P(B>0)} = \frac{{{4}\choose{i}}{{48}\choose{26-i}}\bigg{/}{{52}\choose{26}}}{\bigg{[}{{52}\choose{26}}-{{4}\choose{0}}{{48}\choose{26}}\bigg{]}\bigg{/}{{52}\choose{26}}}

Mi pregunta es : (de los protocolos A y B) ¿qué método es el correcto? y ¿por qué?

El protocolo A ya ha sido utilizado aquí para responder correctamente a esta pregunta. Por lo tanto, el protocolo A es obviamente correcto. Así que, supongo que mi pregunta se convierte en: Por qué ¿el protocolo B es incorrecto?

3voto

JMoravitz Puntos 14532

Tengo dificultades para leer tu "protocolo B" o la respuesta de Quasi y entender de dónde sacas tus números o qué eventos crees que estás utilizando. Para abordar esto, voy a ir a través de una derivación similar a continuación explicando mis pensamientos para organizarme y compartirlo con usted después de que se haga. Esperemos que entonces podamos ver lo que fue mal.

Sacamos una carta de la primera mitad, vemos que es un as y la colocamos en la segunda mitad. A continuación, barajamos la segunda mitad y volvemos a sacar y preguntamos cuál es la probabilidad de que la siguiente carta sacada sea un as.

Definamos algunos eventos. X es el caso de que saquemos un as de la primera baraja. Y es el caso de que saquemos un as del segundo mazo. A_i es el evento con el que empezamos i ases en la primera baraja (lo que la convierte en 4-i+1 ases en la segunda baraja después del intercambio).

\Pr(Y\mid X) = \dfrac{\Pr(Y\cap X)}{\Pr(X)}=\dfrac{\Pr(Y\cap X \cap (A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4))}{\Pr(X)}

=\dfrac{\Pr(Y\cap X\cap A_1) + \Pr(Y\cap X\cap A_2)+\dots + \Pr(Y\cap X\cap A_4)}{\Pr(X)}

=\dfrac{\Pr(Y\mid X\cap A_1)\Pr(X\mid A_1)\Pr(A_1) + \dots + \Pr(Y\mid X\cap A_4)\Pr(X\mid A_4)\Pr(A_4)}{\Pr(X)}

\dfrac{\frac{4}{27}\cdot \frac{1}{26}\cdot \binom{4}{1}\binom{48}{25}/\binom{52}{26} + \dots + \frac{1}{27}\cdot \frac{4}{26}\cdot \binom{4}{4}\binom{48}{22}/\binom{52}{26}}{\frac{4}{52}}

=\frac{43}{459}\approx 0.09368\dots

Si se analizan algunas partes de este cálculo con más detalle, aquí utilizamos que A_0,A_1,\dots,A_4 divide el espacio muestral en eventos disjuntos y que A_0\cap X=\emptyset por lo que puede ser ignorado. A continuación, utilizamos la ley de la probabilidad total para dividir el numerador en probabilidades separadas. A continuación, utilizamos la regla del producto para dividir aún más cada una de ellas.

Ahora, en cuanto a \Pr(Y\mid X\cap A_k) tenemos 4-k+1 ases de 27 cartas en el segundo mazo en el momento de robar del segundo mazo, por lo que la probabilidad aquí es \frac{4-k+1}{27} . \Pr(X\mid A_k) es nosotros dibujando uno de k aces de la primera mitad de la baraja con 26 tarjetas en él, y \Pr(A_k) es una probabilidad hipergeométrica directa \binom{4}{k}\binom{48}{26-k}/\binom{52}{26} . En las publicaciones relacionadas hay afirmaciones sobre el uso de \binom{52}{26} - \binom{48}{26} como denominador, pero aquí nos fijamos exclusivamente en \Pr(A_k) y no están condicionadas a que haya un as disponible para sacar en este momento. De forma alternativa, también podríamos haber tenido \Pr(X\mid A_0)\Pr(A_0) que aparece en los cálculos, pero que habría sido igual a cero.


¿Qué ha fallado en su cálculo? Revisándolo, veo ahora que no estabas condicionando a haber seleccionado con éxito un as en la primera baraja, sino que estabas condicionando a siendo posible seleccionar un as en la primera baraja si uno de los ases disponibles para seleccionar resulta ser la carta superior de la baraja.

2voto

pete Puntos 1

No es una respuesta a su pregunta, sino una alternativa que podría interesarle.

El as que se sacó de la primera mitad tiene probabilidad \frac1{27} para convertirse en la última carta robada.

Todas las demás cartas tienen la misma probabilidad de convertirse en la última carta robada, por lo que si p denota esta probabilidad entonces: 51p+\frac1{27}=1 Esto deja claro que: p=\frac1{51}\frac{26}{27}

Tres de esas cartas son ases, por lo que la probabilidad de que la última carta extraída sea un as es igual: \frac1{27}+3p=\frac1{27}+\frac3{51}\frac{26}{27}=\frac{43}{459}

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