La suposición "ZF es consistente"

Question

Estudié el libro de texto de lógica de Ebbinghaus, que se hace bajo la teoría de conjuntos ZF (a veces es ZFC), por lo que el Teorema de Completitud de Gödel es válido en ZF(C) (en mi opinión).

Cuando estudié la teoría de conjuntos de Jech, va a mostrar que

Si ZF es consistente, entonces también lo es ZFC+GCH.

Sin embargo, ¿podemos realmente suponer que ZF es coherente? Por el Teorema de Completitud de Gödel, si ZF es consistente, entonces es satisfacible y por tanto hay un set V recogiendo todos los conjuntos del universo de ZF, lo que parece una contradicción.

¿No se produce inmediatamente una contradicción al decir que "ZF es coherente"?

¿Cómo debo entender el supuesto "ZF es coherente"?

Answer 1

Usted escribió:

Sin embargo, ¿podemos realmente suponer que ZF es consistente? Por el Teorema de Completitud de Gödel, si ZF es consistente, entonces es satisfacible y por tanto existe un conjunto V que recoge todos los conjuntos del universo de ZF Lo que parece una contradicción.

He añadido la negrita para destacar el malentendido clave, que creo que se ha pasado por alto en los comentarios.

Si asumimos que ZF es consistente, entonces el Teorema de Completitud de Gödel nos da un modelo $\mathcal{M}$ de ZF. ¿Qué es un modelo? $\mathcal{M}$ es sólo un conjunto $M$ dado junto con una relación binaria $E\subseteq M^2$ tal que $(M,E)\models \text{ZF}$ . Es no el caso de que $M$ contiene "todos los conjuntos del universo de ZF" - como sabes, no hay ningún conjunto universal. Y ni siquiera sabemos que $E$ tiene algo que ver con el verdadero $\in$ relación sobre los elementos $M$ . $M$ es sólo una bolsa de cosas, y algunas de esas cosas están relacionadas con otras por la $E$ de manera que se cumplan todos los axiomas de ZF. De hecho, por el teorema de Löwenheim-Skolem, si ZF es consistente, entonces tiene un contable modelo.

Así que he abordado la preocupación de "no hay conjunto universal" desde el exterior: el modelo $\mathcal{M}$ producido por el teorema de completitud no contiene todos los conjuntos de nuestro universo ZF. Pero también podría haberse preocupado por el "no conjunto universal" desde el interior. Es decir, ¿cómo puede el conjunto $M$ ¿contiene en su interior todo un universo de un modelo de ZF, cuando ZF demuestra que no existe un conjunto universal?

La respuesta es que mientras en el exterior, podemos ver que $M$ es un conjunto (quizás incluso un conjunto contable), desde el punto de vista de $\mathcal{M}$ nuestro mini universo ZF, $M$ no es un conjunto. Eso es, $\mathcal{M}$ siendo un modelo de ZF, satisface la sentencia $\lnot \exists x\forall y (y\in x)$ ("no hay ningún conjunto que contenga a todos los conjuntos"). Esto sólo significa que no hay ningún elemento $a$ de $M$ tal que para cada elemento $b$ de $M$ , $(b,a)\in E$ . La condición de $M$ en nuestro gran universo ZF no tiene nada que ver.

Answer 2

Bueno. ¿Cómo puedes suponer que $\sf PA$ es consistente, si por el trabajo de Gödel se puede demostrar que no es demostrable? La respuesta es que añadir suposiciones hace que su teoría más fuerte . Y esta es también una forma de medir la fuerza de una teoría.

Así que $\sf ZF$ es más fuerte que $\sf PA$ porque demuestra que $\sf PA$ es consistente. Y $\sf ZF+\operatorname{Con}(ZF)$ es aún más fuerte, ya que esa teoría demuestra que $\sf ZF$ es consistente. Pero no es lo suficientemente fuerte como para demostrar $\operatorname{Con}(\sf ZF+\operatorname{Con}(ZF))$ . Para eso necesitamos una teoría aún más fuerte.

A juzgar por la forma en que está formulada su pregunta, su opinión al respecto es un tanto platonista. El universo. Si se adopta un punto de vista platonista sobre esto, entonces por el teorema de Gödel, si se asume que $\sf ZF$ es "una teoría base para el universo", entonces estás diciendo esencialmente "no conozco todos los enunciados verdaderos del universo", porque estás limitado por este teorema. En particular, no sabes si $\operatorname{Con}\sf (ZF)$ es verdadero o falso. Por lo tanto, es necesario poner esto como una suposición explícita. Y si bien es cierto que esta suposición no es demostrable a partir de $\sf ZF$ , a menos que $\sf ZF$ es inconsistente, lo único que haces es reforzar tu teoría.

Como escribió Alex Kruchman, un modelo de $\sf ZF$ es sólo un conjunto, tal vez incluso un conjunto contable, con una relación binaria. Resulta que satisface los axiomas de $\sf ZF$ . Este conjunto no tiene "acceso" al resto del universo, y no sabe que él mismo es un conjunto, o que hay otros conjuntos por ahí. Así que sí, aunque esta es una suposición más fuerte que $\sf ZF$ mismo puede probar, no es una suposición terrible.

Más aún, al estudiar las teorías fundacionales, nos importa la relación entre estas teorías. Es decir, si una de ellas es consistente, ¿podemos demostrar que otra lo es? ¿O tal vez no podamos? Eso nos dice cuáles son las limitaciones de estas teorías. El teorema de Gödel que citas, sobre $\sf GCH$ , simplemente muestra que $\sf ZF$ no puede refutar el axioma de la elección, o $\sf GCH$ .