Desplazamiento de la onda plana en un operador diferencial

Question

¿Alguien puede ayudarme a demostrar la siguiente ecuación \begin{equation} e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}f(\partial_{\mu})e^{i\vec{k}\cdot\vec{x}} = f(\partial_{\mu}+ik_{\mu}) \end{equation} Dónde $\vec{k}\cdot\vec{x}=k^{\mu}x_{\mu}, \mu = 0,1,2,3$ .

Answer 1

Supongamos que $g$ es una función en el espacio de las funciones rápidamente decrecientes con todas sus derivadas de cualquier orden, el llamado Espacio Schwartz ${\cal S}(\mathbb R^4)$ . Definir $$\hat{g}(k) = \frac{1}{(2\pi)^2} \int_{\mathbb R^4} e^{-i k_\mu x^\mu} g(x) d^4x\::$$ En consecuencia, como es bien sabido, $\hat{g} \in {\cal S}(\mathbb R^4)$ y $$g(x) = \frac{1}{(2\pi)^2} \int_{\mathbb R^4} e^{i k_\mu x^\mu} \hat{g}(k) d^4k\:.$$ Además, por los resultados estándar sobre el intercambio de símbolos de integración y derivada que son válidos en la clase de funciones que estamos tratando, encontramos $$\partial^{n_1}_{1}\cdots \partial^{n_4}_{4} g(x) = \frac{1}{(2\pi)^2} \int_{\mathbb R^4} \partial^{n_1}_{1}\cdots \partial^{n_4}_{4}e^{i k_\mu x^\mu} \hat{g}(k) d^4k$$ $$=\frac{1}{(2\pi)^2} \int_{\mathbb R^4} (ik)^{n_1}_{1}\cdots (ik)^{n_4}_{4} e^{i k_\mu x^\mu} \hat{g}(k) d^4k\:.$$ y más generalmente asumiendo que la suma en el lado derecho abarca un número finito de términos, donde $a_{n_1\ldots n_4}$ son constantes complejas, $$\sum_{n_1\ldots n_4}a_{n_1\ldots n_4}\partial^{n_1}_{1}\cdots \partial^{n_4}_{4} g(x) = \frac{1}{(2\pi)^2} \int_{\mathbb R^4} \sum_{n_1\ldots n_4}a_{n_1\ldots n_4}(ik)^{n_1}_{1}\cdots (ik)^{n_4}_{4} e^{i k_\mu x^\mu} \hat{g}(k) d^4k\:.$$ En otras palabras, si $p=p(\partial_{1},\cdots, \partial_{4})$ es un polinomio complejo donde asumo que $$c\partial^0_\alpha := cI$$ en particular, $$\left(p(\partial_{1},\cdots, \partial_{4}) g\right)(x) = \frac{1}{(2\pi)^2} \int_{\mathbb R^4} p(ik_1,\cdots, ik_4) e^{i k_\mu x^\mu} \hat{g}(k) d^4k\:.\tag{1}$$ Hay varias razones para extender esta identidad a una clase de funciones $f$ mayores que los polinomios $p$ extendiendo también la clase de funciones $g$ por ejemplo al espacio de Distribuciones de Schwartz si es necesario. Esto se debe a que el anillo de polinomios es denso en espacios de funciones más grandes con respecto a las topologías relevantes. Esta extensión tiene sentido en cuanto $p_n \to f$ implica $$\int_{\mathbb R^4} p_n(ik_1,\cdots, ik_4) e^{i k_\mu x^\mu} \hat{g}(k) d^4k \to \int_{\mathbb R^4} f(ik_1,\cdots, ik_4) e^{i k_\mu x^\mu} \hat{g}(k) d^4k\:.$$ Si $$\int_{\mathbb R^4} f(ik_1,\cdots, ik_4) e^{i k_\mu x^\mu} \hat{g}(k) d^4k$$ De ahora en adelante asumo $$\left(f(\partial_{1},\cdots, \partial_{4}) g\right)(x) = \frac{1}{(2\pi)^2} \int_{\mathbb R^4} f(ik_1,\cdots, ik_4) e^{i k_\mu x^\mu} \hat{g}(k) d^4k\:,\tag{2}$$ donde $f$ es un polinomio o una función más complicada que puede ser convenientemente aproximada por polinomios. Esta identidad implica $$e^{-ihx}\left(f(\partial_{1},\cdots, \partial_{4}) e^{ihx}g\right)(x) = \frac{e^{-ihx}}{(2\pi)^2} \int_{\mathbb R^4} f(ik_1,\cdots, ik_4) e^{i k_\mu x^\mu} \widehat{e^{ihx}g}(k) d^4k\:,$$ Por otro lado $$\widehat{e^{ihx}g}(k) = \frac{1}{(2\pi)^2} \int_{\mathbb R^4} f(ik_1,\cdots, ik_4) e^{-i (k_\mu-h_\mu) x^\mu} g(x)d^4x = \hat{g}(k-h)\:,$$ de modo que, utilizando la invariabilidad traslacional de la medida $d^4k$ $$e^{-ihx}\left(f(\partial_{1},\cdots, \partial_{4}) e^{ihx}g\right)(x) = \frac{e^{-ihx}}{(2\pi)^2} \int_{\mathbb R^4} f(ik_1,\cdots, ik_4) e^{i k_\mu x^\mu} \hat{g}(k-h) d^4k$$ $$= \frac{e^{-ihx}}{(2\pi)^2} \int_{\mathbb R^4} f(i(k_1+h_1),\cdots, i(k_4+h_4))e^{i (k_\mu-h_\mu) x^\mu} \hat{g}(k) d^4k$$ $$ = \frac{1}{(2\pi)^2} \int_{\mathbb R^4} f(i(k_1+h_1),\cdots, i(k_4+h_4)) e^{i k_\mu x^\mu} \hat{g}(k) d^4k$$ Comparando con (2), prestando atención al hecho de que $ih_k$ actúan como una constante multiplicativa cuando $f$ es un polinomio y por lo tanto en general, por lo que es equivalente a $ih_k\partial_k^0 = ih_kI$ al actuar sobre $g(x)$ y no $\hat{g}(k)$ tenemos $$e^{-ihx}\left(f(\partial_{1},\cdots, \partial_{4}) e^{ihx}g\right)(x)$$ $$= \frac{1}{(2\pi)^2} \int_{\mathbb R^4} f(i(k_1+h_1),\cdots, i(k_4+h_4)) e^{i k_\mu x^\mu} \hat{g}(k) d^4k$$ $$\left(f(\partial_{1}+ ih_1,\cdots, \partial_{4}+ih_4) g\right)(x)\:.$$ Desde $g$ es genérico, $$e^{-ihx}f(\partial_{1},\cdots, \partial_{4}) e^{ihx} = f(\partial_{1}+ ih_1I,\cdots, \partial_{4}+ih_4I) \:.$$

Answer 2

PARTE 1 : Taylor Expansion ( ver comentario de @Prahar ).

En el siguiente :

$$ \mathbf{x}=x^{\mu}, \quad \mathbf{k}=k_{\mu}, \quad \partial_{\mu}=\dfrac{\partial}{\partial x^{\mu}} , \quad \mu=0,1,2,3 \tag{1-01} $$

$$ \mathbf{k}\cdot\mathbf{x}=k_{\mu}x^{\mu}=k^{\mu}x_{\mu}, \quad \text{Einstein's convention on}\: \mu \tag{1-02} $$

Supongamos ahora que la función $\:f\left(z\right)\:$ podría ampliarse en series de Taylor, véase https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series .

$$ f\left(z\right)=\sum_{n=0}^{n=\infty}\dfrac{f^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}\:z^{n} \tag{1-03} $$

así que

$$ e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} f\left(z\right)e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} =\sum_{n=0}^{n=\infty}\dfrac{f^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}\:e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}z^{n}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} \tag{1-04} $$

Para $z=\partial_{\mu}$ la ecuación (1-04) da

$$ e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} f\left(\partial_{\mu}\right)e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} =\sum_{n=0}^{n=\infty}\dfrac{f^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}\:e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\partial_{\mu}^{\left(n\right)}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} \tag{1-05} $$

En PARTE 2 demostramos por inducción la siguiente ecuación :

$$ \bbox[#FFFF88,12px]{e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\partial_{\mu}^{\left(n\right)}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}=\left( \partial_{\mu} + ik_{\mu}\right)^{n}} \tag{1-06} $$

así que desde (1-05)

$$ e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} f\left(\partial_{\mu}\right)e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} =\sum_{n=0}^{n=\infty}\dfrac{f^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}\:\left( \partial_{\mu} + ik_{\mu}\right)^{n}=f\left( \partial_{\mu} + ik_{\mu}\right) \tag{1-07} $$ QED.

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PARTE 2 : Prueba por inducción de la ecuación (1-06) : $\:e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\partial_{\mu}^{\left(n\right)}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}=\left( \partial_{\mu} + ik_{\mu}\right)^{n}$

Que una función $\:g\left(\mathbf{x}\right)\:$ infinitamente diferenciable. Entonces

(1). Para $\:n=1\:$

\begin{align} \left[e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\:\partial_{\mu}\:e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\right]\:g\left(\mathbf{x}\right) & =e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\:\partial_{\mu}\:\left[e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\:g\left(\mathbf{x}\right)\right]\\ & =e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\:\left[e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\:\partial_{\mu}\:g\left(\mathbf{x}\right)+ik_{\mu}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}g\left(\mathbf{x}\right)\right] \tag{2-01}\\ & = \left( \partial_{\mu}+ ik_{\mu} \right)g\left(\mathbf{x}\right) \end{align} así que $$ e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\:\partial_{\mu}\:e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}= \left( \partial_{\mu}+ ik_{\mu} \right) \tag{2-02} $$

(2) Supongamos que para un número entero positivo $\:n\:$

$$ e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\partial_{\mu}^{\left(n\right)}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}=\left( \partial_{\mu} + ik_{\mu}\right)^{n} \tag{2-03} $$

entonces

(3) para $\:n+1\:$ tenemos

\begin{align} \left[e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\:\partial_{\mu}^{(n+1)}\:e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\right]\:g\left(\mathbf{x}\right) & = e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\:\partial_{\mu}^{(n)}\left(\partial_{\mu}\left[ e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\:g\left(\mathbf{x}\right)\right] \right) \\ & = e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\:\partial_{\mu}^{(n)}\left[ e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\partial_{\mu}g\left(\mathbf{x}\right)+ik_{\mu}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}g\left(\mathbf{x}\right) \right]\\ & =\underbrace{\left[e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\:\partial_{\mu}^{(n)}\:e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\right]}_{\left( \partial_{\mu} + ik_{\mu}\right)^{n}}\left( \partial_{\mu}+ ik_{\mu} \right)g\left(\mathbf{x}\right)\\ &= \left( \partial_{\mu}+ ik_{\mu} \right)^{n+1} g\left(\mathbf{x}\right) \end{align}

así que

$$ e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\:\partial_{\mu}^{(n+1)}\:e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}=\left( \partial_{\mu}+ ik_{\mu} \right)^{n+1} \tag{2-04} $$

demostrando finalmente (1-06)

$$ \bbox[#FFFF88,12px]{e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\partial_{\mu}^{\left(n\right)}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}=\left( \partial_{\mu} + ik_{\mu}\right)^{n}} \tag{1-06} $$