¿Cuánto tiempo tarda un número determinado de plantas de caña de azúcar Minecraft en crecer a tamaño completo?

Question

En Minecraft el crecimiento de las plantas de caña de azúcar está gobernado por eventos aleatorios. En cada juego (1/20 de segundo), cada planta de caña de azúcar tiene una cierta probabilidad de avanzar a la siguiente etapa de crecimiento. El evento aleatorio debe ocurrir 30 veces para que la planta crezca de 1 bloque de altura a 3 bloques de altura.

Mi objetivo es calcular la cantidad de tiempo promedio que se requiere para que un número dado de plantas de caña de azúcar crezca completamente, si todas las plantas están en el mismo campo y se plantan simultáneamente.

Ya que muchos usuarios de Math.SE podrían no saber mucho sobre Minecraft caña de azúcar, voy a reformular el problema de una manera más general:

Tenemos un número determinado $N$ de monedas ponderadas, cada una con la misma probabilidad $P$ de aterrizar en las cabezas. Cada moneda es lanzada hasta que aterrice en las cabezas un mínimo determinado $M$ número de veces, y contamos el número de tiradas que requiere cada moneda. El tiempo T viene dado por el número de tiradas que requiere la moneda que más tiradas ha realizado (es el máximo del conjunto de datos). ¿Cuál es el valor medio de $T$ ?

Cuando $N = 1$ está claro que $T \approx M/P$ . Cuando $P = 0.5$ (una moneda justa) y $M = 3$ tomará un promedio de seis tiradas para que la moneda caiga sobre las cabezas tres veces.

En el caso de la caña de azúcar, mi investigación en Internet me dice que $P = 3/4096$ y $M = 30$ . Esto significa que se necesita un promedio de $40960$ juego de garrapatas para que una sola planta crezca completamente.

Cuando $N > 1$ No sé exactamente cómo abordar el problema. He hecho algunas simulaciones por ordenador, y al tratar de ajustar las curvas a los datos encontré que parece seguir este patrón: $$T \approx f(M,P) \times \log(N) + M/P$$ La fórmula para $f(M,P)$ es desconocido.

Editar: Para aclarar, $N$ representa el número de plantas de caña de azúcar en el campo.

Answer 1

El tiempo $T$ se necesita una sola planta de caña de azúcar para crecer completamente sigue una distribución binomial negativa .

Dada la función de distribución acumulativa de $T_i\sim T$ se puede calcular la función de distribución acumulativa de $T_{\text{total}}=\max\{T_1,\ldots,T_N\}$ como $$ \mathbb{P}(T_{\text{total}}\leqslant t) = \mathbb{P}(T\leqslant t)^N. $$

Dada la distribución de $T_{\text{total}}$ será relativamente fácil calcular sus expectativas.

Answer 2

Deberías estar buscando el Distribución binomial negativa . El enlace de Wikipedia es aquí . Déjeme intentar reformular y remodelar su pregunta e intentarlo.

Una moneda sesgada tiene una probabilidad $p$ de voltear las cabezas y la probabilidad $q=1-p$ de las colas que se mueven. Deje que $T$ el número de ensayos necesarios para adquirir $M$ cabezas.

Propuse esta solución porque deberíamos estar interesados, en el panorama general, el modelo probabilístico . De esta manera, debería ser capaz de calcular el promedio, la varianza y otros valores clave.

Considere un modelo simplificado. $p=0.2$ y $M=5$ . Probemos la probabilidad de que el número de vueltas sea $T=8$ . Para que este evento ocurra, el $8$ th flip debe sean cabezas. Para los primeros $7$ volteretas, $4$ de ellos deberían ser cabezas y el resto colas. La probabilidad de que eso ocurra es $$p^4q^3=0.2^4\times 0.8^3$$ ¿Hasta ahora todo bien? Ahora, noten que las cabezas pueden ocurrir en cualquier orden . Representando en un conjunto, el evento que la 1ra, 2da, 3ra o 4ta cabeza (seguida por 3 colas) es $\left\{1,2,3,4\right\}$ . Te das cuenta de que podría ser un también $\left\{3,5,6,7\right\}$ o $\left\{2,4,5,6\right\}$ . ¿Notas un patrón aquí? Las cabezas podrían estar dispuestas en $\large{\frac{7!}{3!4!}}$ maneras. Por lo tanto, la probabilidad de que $T=8$ es

$$P(T=8)= \frac{7!}{3!4!} \times 0.2^4\times 0.8^3$$

¿Entiendes? Esta es la distribución binomial negativa.

Sustituyamos el modelo por tu Minecraft valores. $\large{p=\frac{3}{4096}}$ y $M=30$ . Puede ser escrito como $T$ sigue una distribución binomial negativa con parámetros $p$ y $M$ . El promedio es $$\frac Mp = 40960$$ y la variación es $$\frac{M(1-p)}{p^2} = 55883093$$ o la desviación estándar es $7475.50$ . Asumiendo que una garrapata es $0.05$ segundos, la desviación estándar es $373.75$ segundos o alrededor de $5$ minutos.

ACTUALIZACIÓN Me doy cuenta de que esto no se tiene en cuenta cuando hay varias plantas plantadas al mismo tiempo. Bueno, personalmente, creo que los valores siguen siendo los mismos. Esto se debe a la función generadora de momento de la distribución. La suma de 2 distribuciones binomiales negativas para la misma planta tomará el mismo valor de $p$ y suma los valores de $M$ , $M_1+M_2+...$ Tendrías que tomar el promedio de ese valor porque esta suma de la distribución binomial supone que las plantas se plantan una tras otra. Creo que hay mejores cálculos para esto.