Supongamos que $f$ es una función entera con $Re[f(z)]\neq 0$ $\forall z\in \mathbb{C}$ Entonces $f$ es constante.

Question

Quiero demostrar el siguiente teorema

Supongamos que $f$ es una función entera con $Re[f(z)]\neq 0$ $\forall z\in \mathbb{C}$ . Entonces $f$ es constante.

Lo que sé es que Supongamos que $f(z)$ está completo y $Re(f(z))$ está acotado. Demuestre que $f$ es constante . Esto puede demostrarse fácilmente mediante $g(z) = e^{f(z)}$ y aplicar el teorema de Liouville.

En este caso $g(z) = e^{f(z)}$ y por lo tanto $|g(z)| = e^{\operatorname{Re}[f(z)]}$ .

Parece que $\operatorname{Re}[f(z)]\neq 0$ $\forall z \in \mathbb{C}$ no implica la delimitación.

¿Cómo demostrar que el teorema anterior es correcto?

Answer 1

$\Re f(z)$ es una función continua en el plano complejo (que es conexo). Si nunca es $0$ debe ser siempre positivo o siempre negativo. Si es siempre positivo aplique el Teorema de Liouville a at $e^{-f{(z)}}$ y si es siempre negativo aplicar el Teorema de Liouville a at $e^{f{(z)}}$ .