Aritmética ordinal con paréntesis múltiples

Question

Así, entiendo que la multiplicación de ordinales tiene una ley distributiva a la izquierda tal que:

$\alpha\cdot(\beta+\gamma)=\alpha\cdot\beta+\alpha\cdot\gamma$

Lo que me cuesta es si $\alpha$ es también otro conjunto de paréntesis, o incluso si hay tres conjuntos. Así que, por ejemplo, ¿cómo se puede calcular:

$(\omega\cdot2+1)(\omega\cdot3+3)(\omega\cdot4+7)$

Answer 1

Basta con aplicarlo repetidamente: por ejemplo, $(w\cdot 2 + 1)$ es un ordinal, por lo que tiene $(w\cdot 2+1)(w\cdot 3 + 3) = ((w\cdot 2 + 1)\cdot (w\cdot 3) + (w\cdot 2+1)\cdot3)$ y esto es de nuevo un ordinal, por lo que tenemos $(w\cdot 2 + 1)(w\cdot3 + 3)(w\cdot 4+7) = ((w\cdot 2 + 1)\cdot (w\cdot 3) + (w\cdot 2+1)\cdot3)\cdot (w\cdot 4) + ((w\cdot 2 + 1)\cdot (w\cdot 3) + (w\cdot 2+1)\cdot3)\cdot 7$ .

A continuación, puedes simplificarlo utilizando las demás propiedades de la aritmética ordinal (sería mucho más eficiente hacerlo sobre la marcha).