Interpretación geométrica de $I(X_1\cap X_2)\neq I(X_1)+I(X_2)$, $X_i$ algebraicas pone en $\mathbb{A}^n$

Question

Edit: debo señalar que estoy trabajando sobre un algebraicamente cerrado campo de $k$.

Deje $X_1,X_2\subset\mathbb{A}^n$ ser afín algebraicas conjuntos. Mostrar que $I(X_1\cap X_2)=\sqrt{I(X_1)+I(X_2)}$. Mostrar con un ejemplo que tomar la radical aquí es necesario. Se puede ver geométricamente lo que significa que si $I(X_1\cap X_2)\neq I(X_1)+I(X_2)$?

Me mostró este uso que para los ideales de la $\mathfrak{a}_1,\mathfrak{a}_2$ en un anillo, $\sqrt{\mathfrak{a}_1+\mathfrak{a}_2}=\sqrt{\sqrt{\mathfrak{a}_1}+\sqrt{\mathfrak{a}_2}}$. Como un ejemplo, me tomó $X_1=V(x)$, $X_2=V(x+y^2)$ en $\mathbb{A}^2$. A continuación, $$I(X_1)+I(X_2)=\langle x\rangle+\langle x+y^2\rangle=\langle x,y^2\rangle,$$ que no es radical. Pero no sé exactamente cómo interpretar geométricamente.

La intersección de estas dos variedades es sólo el origen. Yo habría supuesto que tiene algo que ver con el origen que se produzcan "más de una vez" (lectura de los ideales de $\langle x,y^2\rangle$), pero no estoy seguro de por qué ese es el caso. Es a causa de la variedad $X_1$ es tangente a $X_2$ en el origen, y por lo tanto se considera como un "doble" de la intersección? Entonces no entiendo, porque el punto de $0$ se produce sólo una vez en $X_1$, así que ¿por qué dos veces en la intersección? Y ¿cuál es la diferencia - geométrico - entre el$\langle x,y^2\rangle$$\langle x^2,y\rangle$?

Muchas gracias por ayudarme a entender estas cosas!

Answer 1

En primer lugar, permítanme felicitar a usted: su intuición es muy correcto y su ejemplo, es excelente.

En la tierra de esquema de la teoría de las cosas son asombrosamente simple:
Dadas dos subschemes $X_1= V(I_1), X_2=V(I_2)\subset \mathbb A^n _k$, su intersección $X_1\cap X_2=V(I_1+ I_2)$ está definido por la suma de sus ideales, y punto .
En su ejemplo,$I_1=(x), \: I_2=(x+y^2) $, por lo que la intersección $X_1\cap X_2$ está dado por el ideal de la $I_1+ I_2=(x, y^2)$.
Esto es cuidadosamente para distinguirse de los subscheme $$(X_1\cap X_2)_{red}=V(\sqrt{I_1+ I_2})= V(x,y)\subsetneq X_1\cap X_2 $$ cual es menor en el sentido de que tiene el mismo conjunto subyacente (el origen $(0,0)$), pero con menos funciones que viven en ella: sólo los elementos de $k$, mientras que en el auténtico intersección $X_1\cap X_2$ el conjunto de funciones regulares es la no reducción de anillo de $k[y]/(y^2)$.
El no reducedness es la traducción de la tangencia de $X_1$$X_2$$(0,0)$.

En el más árido de la tierra clásica de las variedades que están restringidos a la reducción de los ideales y de sus correspondientes variedades.
Por desgracia, esto implica que, incluso si usted quiere se cruzan dos reducido de variedades, la intersección no se reducen, como en el ejemplo examinado anteriormente, y usted se verá obligado a reducir la intersección tomando la raíz de $\sqrt{I_1+ I_2}$ de la genuina ideal $I_1+ I_2$ de la intersección.

Editar
Voy a añadir un par de palabras sobre tu última pregunta, la diferencia entre el$(x,y^2)$$(y,x^2)$, que se me olvidó dirección.
El primer ideal puede ser visto como el de la intersección $S=V\cap L=V(x,y^2)$ de la parábola $P=V(x-y^2)$ y la línea vertical $L=V(x)$.
Desde las clásicas variedades punto de vista esto es sólo el origen $O=(0,0)$.
Pero el plan de la teoría de agregar la información de que el anillo de funciones regulares es $k[x,y]/(x, y^2)=k[y]/( y^2)$, por lo que una función en $S$ es de la forma $q+r\bar y$.
En otras palabras, la intersección $S$ es un poco más grande que sólo$O$, en que si se restringen un polinomio $F(x,y)=a+bx+cy+dx^2+...$$S$, obtendrá $a+c\bar y$ :se puede calcular el $c=\frac {\partial F}{\partial y}(0,0)$ para una función en $S$!
Un análisis similar se aplica a $T=V(y,x^2)$ en el que usted puede calcular el $\frac {\partial F}{\partial x}(0,0)$