Consideremos una v.r. X con MGF $m(t) = \frac{e^{k(e^t-1)}}{(1-bt)^a} $
$(a,b,k) \Bbb{R}$
Diferenciando dos veces obtenemos $m''(t) = (a+1)ab^2e^{k(e^t-1)}(1-bt)^{-(a+2)}+2abke^{k(e^t-1)+t}(1-bt)^{-(a+1)}+ke^{k(e^t-1)+t}(ke^t+1)(1-bt)^{-a}$
Evaluando en t=0, obtenemos $VarX$
$VarX =m''(0)=a^2b^2+ab^2+2abk+k^2+k$
Ahora observamos que $m(t) =e^{k(e^t-1)}(1-bt)^{-a} = m_y(t)m_z(t) $
y nuestro r.v. original $X = Y+ Z$
Para dos r.v. $Y$ y $Z$ , donde $Y$ ~ $Pois(k)$ y $Z$ ~ $\Gamma(a,b)$
(A partir de la propiedad reproductiva de los FGM y comparando nuestra ecuación con los FGM comúnmente conocidos)
Ahora bien, como $X=Y+Z$ podemos encontrar de nuevo la varianza:
$Var(X)=Var(Y+Z)=Var(Y)+Var(Z)=ab^2+k$
Como $Var(Y) = k$ y $Var(Z) = ab^2$
Lo que contradice la primera expresión que encontramos para la varianza.
¿Puede alguien explicarme el error que he cometido?
La diferenciación parece el candidato obvio para mi error, pero lo he comprobado varias veces y también lo he hecho usando Wolfram Alpha.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=second+derivada+de+(e%5E(11(e%5Et-1))*(1-bt)%5E(-a)*(1-bt)%5E(-a))
Ten en cuenta que usé 11 en lugar de k y luego sólo puse k donde aparecían múltiplos de 11, porque Wolfram no parece permitir 3 constantes cuando diferencia.
También he asumido que Y y Z son independientes implícitamente, pero no estoy seguro de cómo comprobarlo.
