¿Cómo tratar este sistema de funciones implícitas?

Question

Todavía no me he ocupado de la práctica de los sistemas de funciones implícitas, simplemente no sé cómo enfocarlo adecuadamente, así que no juzgue mucho.

El sistema:

$$\begin{cases} xe^{u+v} + 2uv = 1 \\ ye^{u-v} - \dfrac{u}{1+v} = 2x \end{cases}$$

define las funciones $u =u(x,y)$ y $v = v(x,y)$ así que $u(1,2) = 0$ y $v(1,2) = 0$

Hay que encontrar $du(1,2)$ y $dv(1,2)$

Answer 1

Necesitamos terminar con formas de ecuaciones de lo siguiente para $du$ y $dv$ :

$$\frac{d}{dv}=\frac{d}{dx}\frac{\partial{x}}{\partial{v}}+\frac{d}{dy}\frac{\partial{y}}{\partial{v}}$$

$$\frac{d}{du}=\frac{d}{dx}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}+\frac{d}{dy}\frac{\partial{y}}{\partial{u}}$$

Para ello puede

1. reordenar las ecuaciones en cuestión haciendo $x$ y $y$ el tema.
2. Diferenciar parcialmente x e y wrt u y v, teniéndolos en términos de u y v solamente.
3. Cuando $(x,y)=(1,2)$ se nos da que $(u,v)=(0,0)$ . Por lo tanto, podemos evaluar los parciales en el paso 3 en (0,0).
4. Sustituir los parciales evaluados en las ecuaciones de $\frac{d}{dv}$ y $\frac{d}{du}$

Lo tengo:

$$\frac{d}{dv}=-\frac{d}{dx}$$ $$\frac{d}{du}=-\frac{d}{dx}-2\frac{d}{dy}$$

O:

$$dv=-dx$$ $$du=-\frac{1}{\frac{d}{dx}-2\frac{d}{dy}}$$