$\mathbb Z[i]/ \langle 1+2i \rangle \cong \mathbb Z_5$

Question

Estoy tratando de demostrar que $\mathbb Z[i]/ \langle 1+2i \rangle$ es isomorfo a $\mathbb Z_5$ .

Lo único que se me ocurrió fue tratar de aplicar el primer teorema de isomorfismo utilizando una función adecuada. Si considero la función euclidiana $N: Z[i] \setminus \{0 \} \to \mathbb N$ definido como $N(a+bi)=a^2+b^2$ entonces puedo expresar cualquier elemento $z$ en $\mathbb Z[i]$ como $z=(1+2i)q+r$ con $N(r)=1,2,3,4$ o $r=0$ .

Si defino $f:\mathbb Z[i] \to \mathbb Z_5$ como $f(x=(1+2i)q_x+r_x)=\overline{r_x}$ entonces está claro que $f(x)=0$ si y sólo si $x \in \langle 1+2i \rangle$ . El problema de esta función es que no satisface $f(x+y)=f(x)+f(y)$ y no es sobreyectiva porque si $r_x=f(x)=3 (5)$ , entonces si $r_x=a+bi$ tenemos $a^2+b^2=3$ Lo cual es absurdo.

No sé qué más hacer, cualquier sugerencia sería agradecida.

Answer 1

Una prueba más. Resulta que en este caso, es más fácil obtener el isomorfismo yendo en la otra dirección.

Dejemos que $f: \Bbb{Z}\to \Bbb{Z}[i]/(1+2i)$ sea el mapeo natural, es decir, que $n$ mapa a $\overline{n}$ donde $\overline{n}$ es el residuo de $n$ como un entero gaussiano mod $1+2i$ . Ahora, ¿cuál es la imagen de este mapeo? Obsérvese que $(1+2i)=(-2+i)$ desde $i(1+2i)=-2+i$ . Por lo tanto, $a+bi-b(-2+i)=a+2b\in \Bbb{Z}$ así que $a+bi \equiv a+2b \pmod{-2+i}$ . En otras palabras, cada elemento de $\Bbb{Z}[i]/(1+2i)$ es la imagen de algún número entero bajo $f$ , ya que $f(a+2b)= a+bi + (1+2i)$ .

Ahora sólo tenemos que mostrar $f$ tiene un núcleo $(5)$ y habremos terminado desde entonces por el primer teorema de isomorfismo, $\Bbb{Z}/(5)\cong \Bbb{Z}[i]/(1+2i)$ . Pero, por supuesto, si $n\in \ker f$ entonces $1+2i \mid n$ Así que $1-2i$ también divide $n$ y como $1-2i$ y $1+2i$ son relativamente primos, $(1+2i)(1-2i)=5 \mid n$ así que $n\in (5)$ . Desde $1+2i \mid 5$ es evidente que $5\in\ker f$ . Por lo tanto, $\ker f=(5)$ y hemos terminado.

En general, la misma prueba vale para cualquier primo gaussiano que no sea un número entero o $1+i$ ya que el argumento que muestra $1+i \mid n$ implica $2 \mid n$ falla aquí. Aunque la prueba sigue siendo válida si se observa que si $1+i \mid n$ entonces $n=(1+i)(a+bi)=a-b+(a+b)i$ y $b=-a$ para que $n=(1+i)(a-ai)=(1+i)(1-i)a=2a$ .

Answer 2

Desde $$ \Bbb{Z}[i] \cong \Bbb{Z}[x] / \langle x^2 + 1 \rangle, $$ se tiene el isomorfismo $$ R = \Bbb{Z}[i] / \langle 1 + 2i \rangle \cong \Bbb{Z}[x] / \langle 1 + x^2, 1 + 2x \rangle. $$

Para construir un homomorfismo de anillo $\varphi:R \to \Bbb{Z}_5$ Basta con describir lo que $x$ mapas a. Diga $\varphi(x) = y \in \Bbb{Z}_5$ . Con el fin de $\varphi$ para ser un homomorfismo de anillo, $y$ debe satisfacer $$ 1 + y^2 = 0 \quad\text{and}\quad 1 + 2y = 0. $$

Entonces, hay que comprobar que este mapa es inyectivo y suryectivo para verificar que es un isomorfismo.

Answer 3

A veces es mejor dar pruebas elementales a problemas elementales, y una prueba constructiva y explícita nos da la sensación de que tenemos el control. Por lo tanto, si denotamos por $\widehat {x + y \Bbb i}$ elementos de $\Bbb Z [\Bbb i] / (1 + 2 \Bbb i)$ y por $\bar n$ elementos de $\Bbb Z _5$ es realmente fácil comprobar que el mapa que envía $\widehat {x + y \Bbb i}$ a $\overline {x + 2y}$ es su isomorfismo deseado. Esta definición viene sugerida por el hecho de que en $\Bbb Z [\Bbb i] / (1 + 2 \Bbb i)$ tienes $\hat 1 = \widehat {- 2 \Bbb i}$ Así que $\widehat {a + b \Bbb i} = \widehat {a + b \Bbb i (- 2 \Bbb i)} = \widehat {a + 2b}$ .

Podemos ser aún más explícitos: veamos qué elemento se mapea dónde. En sus anotaciones, si $N(x) \ge 5$ entonces $\widehat x = \widehat {r_x}$ por lo que sólo tenemos que estudiar los elementos con $N(x) < 5$ que se demuestran fácilmente $0, 1, \Bbb i, 1 + \Bbb i, -1 + \Bbb i, 2, 2 \Bbb i$ y sus inversos aditivos. Las imágenes en $\Bbb Z [\Bbb i] / (1 + 2 \Bbb i)$ de estos elementos son $0, 1, 2, 3, 1, 2, 4$ (y sus inversos aditivos módulo $5$ respectivamente), que se asignan inmediatamente a los elementos correspondientes de $\Bbb Z _5$ .

Answer 4

Otro enfoque

$R=\mathbb Z[i]/ \langle 1+2i \rangle$ = $\{a+bi+\langle 1+2i \rangle |\ a,b \in \Bbb{Z}\}$ .

Ahora tenemos $\overline{1+2i}=\bar0$ para que podamos decir $1+2i=0$ y reducir nuestro número de elementos utilizando esta relación.

Ahora podemos eliminar $i $ término de $a+bi$ utilizando $2i=-1$ (si $b$ es par)
O
podemos eliminar $i$ de $a+bi$ utilizando $8i=1$ y por lo tanto $bi=bi.1=bi.8i=-8b$ (si $b$ es impar)

Así que ahora todos los elementos de $R=\{c+\langle 1+2i \rangle |\ c \in \Bbb{Z}\}$ .

Pero $\langle 1+2i \rangle$ es el elemento cero en $R$ Así que $1+2i=0 \implies 2i=-1 \implies -4=1 \implies 5=0.$

Así que $c=5q+r$ donde $r \in \Bbb{Z_5}$ hace $R=\{r+\langle 1+2i \rangle |\ r \in \Bbb{Z_5}\} \cong \Bbb{Z_5}$