Equivalencia condicional de la expresión a la cardinalidad de los primos en los intervalos cuadrados

Question

Este es un ejercicio para demostrar que

$$\frac{\pi((x+1)^2) - \pi(x^2)}{\pi(x- \pi (x)) } \sim 1$$

asumiendo la hipótesis no probada: $\displaystyle \pi (x^2, x^2+x^{2( \theta)}) \sim \frac{x^{2( \theta)}}{\ln x^2}$ con $\theta = \frac{1}{2}$ .

Con esta suposición, si $\displaystyle \pi(x^2 , x^2+ x) \sim \frac{x}{\ln x^2}$ entonces $\displaystyle \pi (x^2, x^2+ 2x) \sim \frac{2x}{\ln x^2} = \frac{x}{\ln x}$

Como apunte, con la hipótesis, el número de primos en un intervalo cuadrado que comienza en $x^2$ de longitud 2x sería asintóticamente igual a la del intervalo $(0,x)$ , una noción apoyada por Mathematica para los números a su alcance.

La hipótesis $\theta = 1/2$ es más fuerte que los resultados incondicionales actuales.

Así que queremos demostrar que $\displaystyle \pi(x - \pi(x)) \sim \frac{x}{\ln x}$ . No veo ninguna razón para no utilizar la PNT aquí... $\pi(x) \sim \frac{x}{\ln x}$ . Aplicando esto dos veces,

$$\frac{x}{\ln x } \sim \frac{ (x - \frac{x}{\ln x})} { \ln ( x - \frac{x}{\ln x})}$$

El ejercicio es tal vez trivial en este punto porque el numerador de la H.R. de esta expresión podría interpretarse como el número de compuestos en un intervalo a medida que x se hace grande, que sabemos que será cercano a x para x grande. Entonces la fracción completa se parece al número de primos $\leq$ x.

$\displaystyle \frac{ \ln x (x - \frac{x}{\ln x})} {x \ln ( x - \frac{x}{\ln x})} \sim 1$ . Pero

$$\begin{eqnarray*} \frac{ \ln x (x - \frac{x}{\ln x})} {x \ln ( x - \frac{x}{\ln x})} &=& \frac{x \ln x - \frac{x \ln x}{\ln x}} {x \ln ( x - \frac{x}{\ln x})} &=& \frac{x \ln x - x} {x \ln ( x - \frac{x}{\ln x})}\\ = \frac{x (\ln x - 1)} {x \ln ( x - \frac{x}{\ln x})} &=& \frac{\ln x - 1} { \ln ( x - \frac{x}{\ln x})} &=& \frac{\ln x - 1} { \ln (x(1 - \frac{1}{\ln x}))}\\ &=& \frac{\ln x - 1} { \ln x + \ln (1 - \frac{1}{\ln x})} &\sim& 1 \end{eqnarray*}$$

Entonces la pregunta es, después de la edición ¿el cálculo es correcto hasta donde llega?

Edición: La motivación para esto fue que pensé que la iteración $\pi$ expresión era una mejor aproximación de card(primes on square interval) que $\frac{x}{\ln x}$ . Pero ambos ratios $\displaystyle \frac{\pi((x+1)^2) - \pi(x^2)}{\pi(x- \pi (x)) }$ y $\displaystyle \frac{\pi((x+1)^2) - \pi(x^2)}{(\frac{\ln x }{x}) }$ son oscilantes y el resultado depende del valor preciso de x elegido.

Answer 1

Se ve bien, aunque un poco más complejo de lo necesario. En $${\log x\left(x-{x\over\log x}\right)\over x\log\left(x-{x\over\log x}\right)}$$ puede cancelar inmediatamente un factor de $x$ arriba y abajo para llegar a $${\log x\left(1-{1\over\log x}\right)\over \log\left(x-{x\over\log x}\right)}$$