El determinante de una especial $4\times 4$ matriz

Question

Deje $f(x)=\sum_{k=1}^{4}a_{k}x^{k},\varepsilon =\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}.$

$\qquad\qquad 4\times 4$ matriz $$T=\begin{bmatrix} 1& a_{2}& a_{3}& a_{4}\\ 1& a_{1}& a_{2}& a_{3}\\ 1& a_{4}& a_{1}& a_{2}\\ 0& \varepsilon^{2}& \varepsilon& 1\end{bmatrix}$$

Mostrar que $$\det(T)=f(\varepsilon^{2})f(\varepsilon^{3})$$

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Además, puedo generalizar esta pregunta :

Deje $f(x)=\sum_{k=1}^{n}a_{k}x^{k},\varepsilon =\cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}.$

$\qquad\qquad n\times n$ matriz $$T=\begin{bmatrix} 1& a_{2}& a_{3} & \cdots & a_{n}\\ 1& a_{1}& a_{2}&\cdots & a_{n-1}\\ \cdots& \cdots& \cdots&\cdots & \cdots\\ 1& a_{4}& a_{5}& \cdots &a_{2}\\ 0& \varepsilon^{n-2}& \varepsilon^{n-3}& \cdots& 1\end{bmatrix}$$

Mostrar que $$\det(T)=f(\varepsilon^{2})f(\varepsilon^{3}) \cdots f(\varepsilon^{n-1})$$

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Deje que $$A=\begin{bmatrix} 1& 0& a_{3}& a_{4}& a_{1}\\ 0& 1& a_{2}& a_{3}& a_{4}\\ 0& 1& a_{1}& a_{2}& a_{3}\\ 0& 1& a_{4}& a_{1}& a_{2}\\ 0& 0& \varepsilon^{2}& \varepsilon& 1\end{bmatrix}$$ then $\det(T)=\det(A)$. Now add $\varepsilon^{2}$ of row 4 to row 1, add $\varepsilon^{4}$ of row 3 to row 1, add $\varepsilon^{6}$ de la fila 2 a la fila 1, obtenemos $$A=\begin{bmatrix} 1& 0& a_{3}& a_{4}& a_{1}\\ 0& 1& a_{2}& a_{3}& a_{4}\\ 0& 1& a_{1}& a_{2}& a_{3}\\ 0& 1& a_{4}& a_{1}& a_{2}\\ 0& 0& \varepsilon^{2}& \varepsilon& 1\end{bmatrix}\longrightarrow \begin{bmatrix} 1& 0& \varepsilon^{4}f(\varepsilon^{2})& \varepsilon^{2}f(\varepsilon^{2})& f(\varepsilon^{2})\\ 0& 1& a_{2}& a_{3}& a_{4}\\ 0& 1& a_{1}& a_{2}& a_{3}\\ 0& 1& a_{4}& a_{1}& a_{2}\\ 0& 0& \varepsilon^{2}& \varepsilon& 1\end{bmatrix}=A_{1}$$

¿Cómo puedo separar $f(\varepsilon^{2})$$\det(A_{1})$?

Si usted tiene otra prueba a mi pregunta,por favor, dame algunas pistas. Cualquier ayuda se agradece

Answer 1

Como estamos buscando el determinante bien podemos pensar acerca de la transposición de

$$ T^T=\begin{bmatrix} 1& 1& 1& \cdots& 1& 0\\ a_{2}& a_{1}& a_{n}& \cdots& a_{4}& \varepsilon^{n-2}\\ a_{3}& a_{2}& a_{1}& \cdots& a_{5}& \varepsilon^{n-3}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \ddots& \vdots& \vdots\\ a_{n}& a_{n-1}& a_{n-2}& \cdots& a_{2}& 1 \end{bmatrix} $$

Cambio de la última columna de $T^T$ definir $C$ como sigue

$$ C=\begin{bmatrix} 1& 1& 1& \cdots& 1& 1\\ a_{2}& a_{1}& a_{n}& \cdots& a_{4}& a_{3}\\ a_{3}& a_{2}& a_{1}& \cdots& a_{5}& a_{4}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \ddots& \vdots& \vdots\\ a_{n}& a_{n-1}& a_{n-2}& \cdots& a_{2}& a_{1} \end{bmatrix} $$

Ahora echa un vistazo a el sistema de ecuaciones lineales en $x_j$

$$ Cx=\begin{bmatrix} 1& 1& 1& \cdots& 1& 1\\ a_{2}& a_{1}& a_{n}& \cdots& a_{4}& a_{3}\\ a_{3}& a_{2}& a_{1}& \cdots& a_{5}& a_{4}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \ddots& \vdots& \vdots\\ a_{n}& a_{n-1}& a_{n-2}& \cdots& a_{2}& a_{1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\ \varepsilon^{n-2}\\ \varepsilon^{n-3}\\ \vdots\\ 1 \end{bmatrix}:=b $$

Por la regla de Cramer $$ \color{red}{x_n\det(C)=\det(T^T)=\det(T)} $$

Para $y_j=\varepsilon^{-j}$ tenemos $(Cy)_1=0$ $k>1$ $$ (Cy)_k=(a_k\varepsilon^{-1}+a_{k-1}\varepsilon^{-2}+\cdots+a_1\varepsilon^{-k})+(a_n\varepsilon^{-k-1}+a_{n-1}\varepsilon^{-k-2}+\cdots+a_{k+1}\varepsilon^{-n})\\ =\varepsilon^{-k-1}f(\varepsilon)=\varepsilon^{n-k}{f(\varepsilon)\over\varepsilon}=b_k{f(\varepsilon)\over\varepsilon}\\ \por lo tanto C\left({\varepsilon\más de f(\varepsilon)}y\right)=b $$ De modo que podemos elegir ( en el caso de $C$ es invertible, tenemos sólo una opción ) $$ \color{red}{x_n={\varepsilon\más de f(\varepsilon)}} $$ Ahora la fila de operación $R_1\sum_{k=1}^na_k-\sum_{k=2}^nR_k$ $C$ nos da $$ \left(\sum_{k=1}^na_k\right)C=f(1)C=\begin{bmatrix} a_{1}& a_{n}& a_{n-1}& \cdots& a_{3}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}& a_{n}& \cdots& a_{4}& a_{3}\\ a_{3}& a_{2}& a_{1}& \cdots& a_{5}& a_{4}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \ddots& \vdots& \vdots\\ a_{n}& a_{n-1}& a_{n-2}& \cdots& a_{2}& a_{1} \end{bmatrix} $$ La matriz $f(1)C$ es el circulantes matriz cuyo polinomio asociado es $f(x)/x$ y por lo tanto su determinante es $$ \prod_{j=1}^nf(\varepsilon^j)\varepsilon^{j}=\begin{cases}\prod_{j=1}^nf(\varepsilon^j) & n\text{ is odd }\\ \varepsilon^{-{n\over2}}\prod_{j=1}^nf(\varepsilon^j) & n\text{ is even } \end{casos} $$ Así, suponiendo $f(1),f(\varepsilon)\neq0$, $$ \color{blue}{\det(T)=\begin{cases} \varepsilon\prod_{j=2}^{n-1}f(\varepsilon^j) & n\text{ is odd }\\ \varepsilon^{1-{n\over2}}\prod_{j=2}^{n-1}f(\varepsilon^j) & n\text{ is even } \end{casos}} $$ Edit: Como el problema original pide a demostrar un resultado diferente, me registré $\det(T)$ $2\le n\le10$ y la fórmula funciona. Manera más fácil de probar que $f(\varepsilon^j)\varepsilon^{-j}$ son los autovalores de a $f(1)C$ es darse cuenta de $f(1)C=g(P)$ donde $g(x)=f(x)/x,\;P$ es la permutación de la matriz se define como $$ P_{ij}=\delta_{i(j+1\mod n)} $$ y los autovalores de a $P$ $n$- th raíces de la unidad. Esto prueba claramente que funciona para cualquier circulantes de la matriz.