Número esperado de vértices de grado k en un grafo aleatorio

Question

Me estoy preguntando cuál sería el número esperado de vértices con grado k en el grafo aleatorio $G(n, p)$?

Hasta ahora lo que he obtenido es: $$\mathbb{P}(deg(v)=k)=\binom{n-1}{k}p^k(1-p)^k $$ Entonces el número de vértices con exactamente $k$ grados sería: $$n\binom{n-1}{k}p^k(1-p)^k$$

Sé que es posible simplificar esto más, pero no estoy seguro si esto está correcto o cómo simplificarlo.

Answer 1

Como se señaló en un comentario, la primera ecuación está incorrecta. La probabilidad de que exactamente $k$ de $n-1$ aristas existan es

$$ \binom{n-1}kp^k(1-p)^{n-1-k}\;, $$

entonces el número esperado de vértices de grado $k$ es

$$ n\binom{n-1}kp^k(1-p)^{n-1-k}\;. $$

No hay simplificación posible (a menos que consideres $n\binom{n-1}k=(n-k)\binom nk$ como una simplificación).