Dada una matriz simétrica A, encontrar una matriz ortogonal S tal que $S^TAS$ es una matriz diagonal

Question

Dada la matriz simétrica: $$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$$ encontrar una matriz ortogonal $S$ tal que $S^TAS$ es una matriz diagonal.

No sé cómo hacer esto en absoluto. Lo único que sé es que las matrices simétricas en general son diagonalizables por alguna matriz ortogonal. También sé que una matriz es ortogonal si sus filas o columnas forman una base ortonormal de, en este caso, $\mathbb{R}^3$ . Así que intenté encontrar los vectores propios de A y utilizar Gram Schmidt para ortogonalizarlos, pero al utilizar la matriz formada por esos vectores ya no resulta una matriz diagonal.

Entonces, ¿cómo puedo encontrar realmente la elección particular de S tal que la propiedad se mantenga?

Answer 1

Una pista: $$A = I+\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0\\ \end{array} \right)$$ y la segunda matriz deja los espacios ortogonales $sp\{e_2\}, sp\{e_1,e_3\}$ invariante.

Answer 2

Supongo que has aplicado Gram-Schmidt a una base completa de vectores propios. En este caso, el peligro es que acabes con vectores base que ya no son eigenvectores.

En su lugar, utilice Gram-Schmidt por separado en cada eigespacio.