Concluir que $Z_n$ converge en probabilidad a cero.

Question

Estoy tratando de resolver este ejercicio pero realmente no sé cómo mostrar toda la convergencia. Conozco las definiciones pero no sé cómo aplicarlas. Para la segunda parte encontré esta proposición para usar " $X_n$ conversar en $L^1$ a X $\implies \mathbb{E}[X_n] - \mathbb{E}[X] \leq \mathbb{E}[|X_n -X|] \to 0$

El ejercicio: Que $\lambda$ > 0 y que $X_n$ sea una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, tal que, para cada $k \in \mathbb{N}$ , $\mathbb{P}(X_n =k) = e^{-\lambda}\lambda^k/k!$

Definimos la secuencia $Z_n$ de variables aleatorias como $Z_n = \prod_{m=1}^n X_m$ .

1. Computar $\mathbb{P}(Z_n \ne 0)$ , concluyen que $Z_n$ convergen en probabilidad a cero.
2. ¿Hay una convergencia casi segura? ¿Hay convergencia en $L^1$ ?

Si alguien puede ayudar estaría muy bien.

Answer 1

Pistas: $ P(Z_n\neq 0)\leq (P(X_i\geq 1))^{n} =(1-e^{-\lambda})^{n} \to 0$ . Por lo tanto, $Z_n \to 0$ en la probabilidad. También $\sum_n P(Z_n\neq 0) <\infty$ desde $\sum r^{n} <\infty$ para $0 \leq r <1$ . Por el lema de Borel - Cantelli vemos que $Z_n =0$ para todos $n$ suficientemente grande, con probabilidad $1$ Así que $Z_n \to 0$ casi seguro. También $EZ_n=(EX_1)^{n}=\lambda ^{n}$ así que $Z_n$ tiende a $0$ en $L^{1}$ si $\lambda <1$ .