¿Es un grupo abeliano discreto sin torsión de rango finito isomorfo a un subgrupo de $\mathbb{Q}^k_d$ ?

Question

Si $G$ es un grupo abeliano discreto sin torsión de rango $k$ Entonces, ¿es cierto que $G$ es isomorfo a un grupo $H$ , donde $\mathbb{Z}^k < H < \mathbb{Q}^k_d$ ?

Aquí, $\mathbb{Q}^k_d$ es el producto $\mathbb{Q}^k$ con topología discreta y " $<$ " significa subgrupo.

Answer 1

Dejemos que $\{g_1,g_2,\dots,g_k\}$ sea un subconjunto linealmente independiente máximo de $G$ y que $H=\langle g_1,g_2,\dots,g_k\rangle$ sea el subgrupo de $G$ generados por esos elementos. El cociente $G/H$ es de torsión, debido a la maximalidad, por lo que a partir de la secuencia exacta $$ 0\to H\to G\to G/H\to 0 $$ obtenemos, tensando por $\mathbb{Q}$ que $H\otimes\mathbb{Q}$ es isomorfo a $G\otimes\mathbb{Q}$ . En particular $G\otimes\mathbb{Q}\cong\mathbb{Q}^k$ porque $H\cong\mathbb{Z}^k$ . El mapa $G\to G\otimes\mathbb{Q}$ definido por $x\mapsto x\otimes 1$ es inyectiva.

Ahora componga este mapa con un isomorfismo $G\otimes\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}^k$ . Si la imagen de $G$ bajo este monomorfismo no contiene $\mathbb{Z}^k$ es fácil componer con la multiplicación por un entero adecuado y obtener el resultado que se desea.