Demostrando que una secuencia oscilante inusual diverge.

Question

Estoy trabajando en el siguiente problema:

Dejemos que $s_n=(\frac{1}{n}-1)^n$ . Demostrar que $s_n$ diverge.

He demostrado con éxito que no puede converger a ningún valor distinto de cero. Sin embargo, estoy luchando por demostrar que no puede converger a $0$ .

Mi idea principal es considerar la subsecuencia "par", que tiene todos los valores positivos. Si puedo demostrar que la subsecuencia par es monótona creciente, entonces puedo, por supuesto, demostrar que $0$ no puede ser un límite. Lamentablemente, estoy atascado en el siguiente paso:

Necesito demostrar que $$ \left(1-\frac{1}{2n+2}\right)^{2n+2} > \left(1-\frac{1}{2n}\right)^{2n} $$

que no puedo probar. ¿Puede alguien ayudarme con esto?

Answer 1

Con un poco de álgebra, lo conseguimos: $$\left(\frac{1}{n}-1\right)^n = (-1)^n\left(1-\frac{1}{n}\right)^n.$$

Además, sabemos que $$\left(1-\frac{1}{n}\right)^n \to e^{-1}.$$

Esto significa que está acotado, pero no converge. Después de un tiempo (es decir, un tiempo suficientemente largo, o un tamaño suficientemente grande $n$ ), sólo oscila entre los valores $-e^{-1}$ y $+e^{-1}$ .