Aclaración sobre una prueba

Question

Es sólo una aclaración sobre una prueba :

La desigualdad de partida es :

$$0.5\geq1.5-\frac{1}{\frac{a^2 + a b + 2 a + b^2 + 3}{a^2 + a b - 2 a + b^2 + 3}+1}-\frac{1}{\frac{c^2 + c b + 2 b + b^2 + 3}{c^2 + c b - 2 b + b^2 + 3}+1}-\frac{1}{\frac{a^2 + a c + 2 c + c^2 + 3}{a^2 + a c - 2 c + c^2 + 3}+1}$$

Así que estudiamos la función $f(x)=0.5-\frac{1}{x+1}$ que es cóncava por lo que podemos aplicar la desigualdad de Jensen obtenemos : $$0.5-\frac{1}{\frac{\frac{a^2 + a b + 2 a + b^2 + 3}{a^2 + a b - 2 a + b^2 + 3}+\frac{c^2 + c b + 2 b + b^2 + 3}{c^2 + c b - 2 b + b^2 + 3}+{\frac{a^2 + a c + 2 c + c^2 + 3}{a^2 + a c - 2 c + c^2 + 3}}}{3}+1}\geq\frac{1}{3}(1.5-\frac{1}{\frac{a^2 + a b + 2 a + b^2 + 3}{a^2 + a b - 2 a + b^2 + 3}+1}-\frac{1}{\frac{c^2 + c b + 2 b + b^2 + 3}{c^2 + c b - 2 b + b^2 + 3}+1}-\frac{1}{\frac{a^2 + a c + 2 c + c^2 + 3}{a^2 + a c - 2 c + c^2 + 3}+1})$$

Wich equivale a :

$$1.5-\frac{3}{\frac{\frac{a^2 + a b + 2 a + b^2 + 3}{a^2 + a b - 2 a + b^2 + 3}+\frac{c^2 + c b + 2 b + b^2 + 3}{c^2 + c b - 2 b + b^2 + 3}+{\frac{a^2 + a c + 2 c + c^2 + 3}{a^2 + a c - 2 c + c^2 + 3}}}{3}+1}\geq(1.5-\frac{1}{\frac{a^2 + a b + 2 a + b^2 + 3}{a^2 + a b - 2 a + b^2 + 3}+1}-\frac{1}{\frac{c^2 + c b + 2 b + b^2 + 3}{c^2 + c b - 2 b + b^2 + 3}+1}-\frac{1}{\frac{a^2 + a c + 2 c + c^2 + 3}{a^2 + a c - 2 c + c^2 + 3}+1})$$

Pero es fácil encontrar el mínimo de :

$$\frac{3}{\frac{\frac{a^2 + a b + 2 a + b^2 + 3}{a^2 + a b - 2 a + b^2 + 3}+\frac{c^2 + c b + 2 b + b^2 + 3}{c^2 + c b - 2 b + b^2 + 3}+{\frac{a^2 + a c + 2 c + c^2 + 3}{a^2 + a c - 2 c + c^2 + 3}}}{3}+1}$$

Wich es uno así que tenemos :

$$0.5\geq 1.5-\frac{1}{\frac{a^2 + a b + 2 a + b^2 + 3}{a^2 + a b - 2 a + b^2 + 3}+1}-\frac{1}{\frac{c^2 + c b + 2 b + b^2 + 3}{c^2 + c b - 2 b + b^2 + 3}+1}-\frac{1}{\frac{a^2 + a c + 2 c + c^2 + 3}{a^2 + a c - 2 c + c^2 + 3}+1}$$

Hecho.

Pero Michael Rozenberg dice que hay un error pero no veo donde .

Editar : Está relacionado con este

Muchas gracias.

Answer 1

Has demostrado que $$\sum_{cyc}\frac{1}{\frac{a^2+ab+2a+b^2+3}{a^2+ab-2a+b^2+3}+1}\geq\frac{3}{\frac{\sum\limits_{cyc}\frac{a^2+ab+2a+b^2+3}{a^2+ab-2a+b^2+3}}{3}+1}$$ o $$\sum_{cyc}\frac{a^2+ab-2a+b^2+3}{a^2+ab+b^2+3}\geq\frac{18}{\sum\limits_{cyc}\frac{a^2+ab+2a+b^2+3}{a^2+ab-2a+b^2+3}+3}.$$

Ahora, quieres usar el siguiente razonamiento.

Desde $$\sum\limits_{cyc}\frac{a^2+ab+2a+b^2+3}{a^2+ab-2a+b^2+3}=3+\sum\limits_{cyc}\left(\frac{a^2+ab+2a+b^2+3}{a^2+ab-2a+b^2+3}-1\right)=$$ $$=3+\sum\limits_{cyc}\frac{4a}{a^2+ab-2a+b^2+3}\geq3,$$ donde la igualdad se produce para $a=b=c=0$ vemos que el valor mínimo de $$\sum\limits_{cyc}\frac{a^2+ab+2a+b^2+3}{a^2+ab-2a+b^2+3}$$ es $3$ .

Por lo tanto, es suficiente para demostrar que $$\sum_{cyc}\frac{a^2+ab-2a+b^2+3}{a^2+ab+b^2+3}\geq\frac{18}{3+3}$$ o $$\sum_{cyc}\frac{a^2+ab-2a+b^2+3}{a^2+ab+b^2+3}\geq3$$ y aquí dices que la desigualdad de partida está probada.

Creo que no es así porque la última desigualdad es errónea.

Prueba con $a=b=c=1$ .

Espero que ahora esté claro.