Relación de los lados del triángulo $ABC$

Question

Si en un triángulo $\Delta ABC$ con $a$ , $b$ y $c$ como lados

$$\begin{align}\left(Cot\frac{A}{2}\right)^2 +\left(2Cot\frac{B}{2}\right)^2+\left(3Cot\frac{C}{2}\right)^2=\left(\frac{6s}{7r}\right)^2\end{align} \tag{1}$$ donde $r$ es inradio y $s$ es el Semi-Perímetro, entonces encuentra la relación $a:b:c$

Mi intento: Si $\Delta$ es el área del triángulo tenemos $$Cot\frac{A}{2}=\frac{s(s-a)}{\Delta}$$ y $$sr=\Delta$$

Utilizando estos en $(1)$ obtenemos

$$ \frac{s^2(s-a)^2}{\Delta^2}+\frac{4s^2(s-b)^2}{\Delta^2}+\frac{9s^2(s-c)^2}{\Delta^2}=\frac{36s^4}{49\Delta^2}$$

$\implies$

$$49\left((s-a)^2+4(s-b)^2+9(s-c)^2\right)=36s^2$$

$\implies$

$$650s^2-98s(a+4b+9c)+49(a^2+4b^2+9c^2)=0$$

ya que para un triángulo $s$ debe ser única, la ecuación anterior debe tener discriminante cero $\implies$

$$49(a+4b+9c)^2-650(a^2+4b^2+9c^2)=0$$

$\implies$

$$601a^2+1816b^2+1881c^2=392ab+3528bc+882ac$$

Estoy atascado aquí arriba, por favor ayúdenme.

Answer 1

Ha demostrado que la condición propuesta es equivalente a $$ (s-a)^2+4(s-b)^2+9(s-c)^2=\frac{36}{49}s^2\tag 1 $$ Nótese que, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos $$\eqalign{ s&=(s-a)+\frac{1}{2}(2(s-b))+\frac{1}{3}(3(s-c))\cr &\leq\sqrt{(s-a)^2+4(s-b)^2+9(s-c)^2}\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}}\cr &\leq\frac{7}{6}\sqrt{(s-a)^2+4(s-b)^2+9(s-c)^2}\cr }$$ Así que $(1)$ corresponde al caso de igualdad en la desigualdad de Cauchy-Schwarz, por lo que $$ \frac{s-a}{1}=\frac{2(s-b)}{\frac{1}{2}}=\frac{3(s-c)}{\frac{1}{3}} $$ es decir $$ s-a=\lambda,\quad s-b=\frac{\lambda}{4},\quad s-c=\frac{\lambda}{9} $$ para algunos $\lambda>0$ . Sumando estas igualdades obtenemos: $s=\frac{49}{36}\lambda$ , es decir $$ a=\frac{13}{36}\lambda,\quad b=\frac{40}{36}\lambda,\quad c=\frac{45}{36}\lambda $$ Finalmente $a:b:c=13:40:45$ . $\qquad\square$