Si en un triángulo $\Delta ABC$ con $a$ , $b$ y $c$ como lados
$$\begin{align}\left(Cot\frac{A}{2}\right)^2 +\left(2Cot\frac{B}{2}\right)^2+\left(3Cot\frac{C}{2}\right)^2=\left(\frac{6s}{7r}\right)^2\end{align} \tag{1}$$ donde $r$ es inradio y $s$ es el Semi-Perímetro, entonces encuentra la relación $a:b:c$
Mi intento: Si $\Delta$ es el área del triángulo tenemos $$Cot\frac{A}{2}=\frac{s(s-a)}{\Delta}$$ y $$sr=\Delta$$
Utilizando estos en $(1)$ obtenemos
$$ \frac{s^2(s-a)^2}{\Delta^2}+\frac{4s^2(s-b)^2}{\Delta^2}+\frac{9s^2(s-c)^2}{\Delta^2}=\frac{36s^4}{49\Delta^2}$$
$\implies$
$$49\left((s-a)^2+4(s-b)^2+9(s-c)^2\right)=36s^2$$
$\implies$
$$650s^2-98s(a+4b+9c)+49(a^2+4b^2+9c^2)=0$$
ya que para un triángulo $s$ debe ser única, la ecuación anterior debe tener discriminante cero $\implies$
$$49(a+4b+9c)^2-650(a^2+4b^2+9c^2)=0$$
$\implies$
$$601a^2+1816b^2+1881c^2=392ab+3528bc+882ac$$
Estoy atascado aquí arriba, por favor ayúdenme.