Pivote para un intervalo de confianza

Question

Estoy viendo un ejemplo en mis notas de clase donde $X_1, X_2,...,X_n$ son iid $N(\mu,\sigma^2)$ , donde $\sigma^2$ es conocido. $\bar{X}$ es un estimador insesgado de $\mu$ .

El pivote para el intervalo de confianza se da como

$\frac{\bar{X} -\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

y las notas indican que este pivote hace no dependen de $\mu$ . Realmente no entiendo cómo no lo hace. ¿Qué significa que algo "dependa" de otra cosa?

Answer 1

Bueno, como función ciertamente depende de $\mu$ simplemente porque la expresión para el pivote $$ \frac{\bar{X} -\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} $$ contienen $\mu$ . Entonces, ¿en qué sentido no depende de $\mu$ ? Para entenderlo hay que comprobar la definición de pivote: Es una función de datos y parámetros del modelo que tienen un distribución que no dependen de los parámetros desconocidos del modelo. Eso significa que el pivote tiene una distribución de probabilidad conocida, y eso es lo que hace que funcionen los cálculos de probabilidad en la construcción del intervalo de confianza.

Así que la respuesta a su pregunta es: El pivote tiene una distribución de probabilidad que no depende de $\mu$ .