Edit: se Nota que estoy haciendo sólo la primera variación, y yo no estoy haciendo de cada paso, principalmente aquellos pertinentes en la comprensión de cómo la forma general de la ecuación se determina. Si desea ver toda la derivación, se necesita entender la geometría Matemática de Cebadores descritos en las Secciones 2 y 3 del libro.
- Los Métodos geométricos en la Teoría Elástica de las Membranas en el Líquido
Las Fases de cristal por Zhong-Puede Ou-Yang, Ji-Liu Xing, Yu Zhang Xie Xie
Yu Zhang
$c_{0}$: Espontánea de la curvatura de la superficie de la membrana
$k_{c}$: Flexión de la rigidez de la membrana de la vesícula
$H$: Significa que la curvatura de la superficie de la membrana en cualquier punto de $P$
$K$: La curvatura gaussiana de la superficie de la membrana en cualquier punto de $P$
$dA$: Elemento área de la membrana
$dV$: Elemento de volumen encerrado por la cerrada de la bicapa
$\lambda$: Tensión de la superficie de la bicapa, o la resistencia a la fuerza que actúa sobre la membrana
$\Delta p$: Diferencia de presión entre el interior y el exterior de la membrana.
La forma de energía de una vesícula está dada por:
$$
F = F_{c} + \Delta p \int dV + \lambda \int dA
$$
Donde
$$
F_{c}=\frac{k_{c}}{2}(2H-c_{0})^{2} = \frac{k_{c}}{2}(c_{1}+c_{2}-c_{0})^{2}
$$
La variación de $dA$ $dV$ son necesarios, consulte el libro de localizar aquellos.
A continuación vamos a calcular la primera variación de $F$. Y podemos romper esta en componentes, empezando con la primera variación $F_{c}$.
$$
\delta ^{(1)}F_{c} = \frac{k_{c}}{2}\cualquier (2H+c_{0})^{2} \delta ^{(1)}(dA) + \frac{k_{c}}{2}\cualquier 4(2H+c_{0})^{2}(\delta ^{(1)}H)dA
$$
Donde el primer fin de variación de $\psi$ nos da:
$$
\delta ^{(1)}dA = -2H\psi g^{1/2}dudv
$$
$$
\delta ^{(1)}dV = \psi g^{1/2}dudv
$$
$$
\delta ^{(1)}H = (2H^{2}-K))\psi + (1/2)g^{ij}(\psi _{ij}-\Gamma _{ij}^{k}\psi_{k})
$$
Nota: $\Gamma_{ij}^{k}$ es el símbolo de Christoffel definido por (para referencia):
$$
\Gamma_{ij}^{k} = \frac{1}{2}g^{kl}(g_{il,j} + g_{jl,i} - g_{ij,l})
$$
Y nos conectamos con aquellos en la variación de $F_{c}$:
$$
\delta ^{(1)}F_{c} = k_{c}\cualquier [(2H+c_{0})^{2}((2H^{2}-K)\psi + (1/2)g^{ij}(\psi_{ij}-\Gamma_{ij}^{k}\psi_{k}))]
$$
$$
= k_{c}\cualquier [(2H+c_{0})(2H^{2}-c_{0}H-2K)\psi + (1/2)g^{ij}(2H+c_{0})\psi_{ij} - g^{ij}\Gamma_{ij}^{k}(2H+c_{0})\psi_{k}]g^{1/2}dudv
$$
Y hay dos relaciones ($i,j = u,v$)
$$
\cualquier f\phi_{i}dudv = -\cualquier f_{i}\phi dudv
$$
$$
\cualquier f\phi_{ij}dudv = \cualquier f_{ij}\phi dudv
$$
Así entonces tenemos:
$$
\delta ^{(1)}F_{c} = k_{c}\cualquier \left \{ (2H+c_{0})(2H^{2}-c_{0}H-2K)g^{1/2} + [g^{1/2}g^{ij}(2H+c_{0})]_{ij} + [g^{1/2}g^{ij}(2H+c_{0})\Gamma_{ij}^{k}]_{k} \right \}\psi dudv
$$
Y podemos re-escribir:
$$
[g^{1/2}g^{ij}(2H+c_{0})]_{ij} = [(g^{1/2}g^{ij})_{j}(2H+c_{0})]_{i} + [g^{1/2}g^{ij}(2H+c_{0})\Gamma_{ij}^{k}]_{k} \psi dudv
$$
Y para las funciones de $f(u,v)$ donde $u,v = i,j$, se puede ampliar directamente:
$$
[g^{1/2}g^{ij})_{j}f]_{i} = -(\Gamma_{ij}^{k}g^{1/2}g^{ij}f)_{k}
$$
Un operador Laplaciano para estas superficies se define en el libro, y es dada como:
$$
\bigtriangledown^{2} = g^{1/2}\frac{\partial }{\partial i}(g^{1/2}g^{ij}\frac{\partial }{\partial j})
$$
Así entonces tenemos:
$$
[g^{1/2}g^{ij}(2H+c_{0})_{j}]_{i} = g^{1/2}\bigtriangledown^{2}(2H+c_{0})
$$
El uso de estos métodos en la primera variación:
$$
\delta^{(1)}F_{c} = k_{c}\cualquier [(2H+c_{0})(2H^{2}-c_{0}H-2K) + \bigtriangledown^{2}(2H+c_{0})]\psi g^{1/2}dudv
$$
Y ahora queremos que la variación de $F$.
$$
\delta^{(1)}F = \delta^{(1)}F_{c} + \delta^{(1)}(\Delta p\int dV) + \delta^{(1)}(\lambda\int dA)
$$
Lo que nos da:
$$
\delta^{(1)}F = \cualquier [\Delta p-2\lambda H + k_{c}(2H+c_{0})(2H^{2}-c_{0}-2K) + k_{c}\bigtriangledown^{2}(2H+c_{0})]\psi g^{1/2}dudv
$$
Y desde $\psi$ es una muy pequeña, muy suave función de $u$$v$, la desaparición de la primera variación de $F$ requiere que:
$$
\Delta p = 2\lambda H + k_{c}(2H+c_{0})(2H^{2}-c_{0}H-2K) + k_{c}\bigtriangledown^{2}(2H+c_{0}) = 0
$$
Que es la forma general de la ecuación de la membrana de la vesícula. $c_{0}$ es una constante, a menos que el efecto de simetría de la membrana y su entorno varía entre cada punto (suponemos que no) $c_{0}$ se convierte en una función de $u$$v$. Así se puede reducir a:
$$
\Delta p = 2\lambda H + k_{c}(2H+c_{0})(2H^{2}-c_{0}H-2K) + 2k_{c}\bigtriangledown^{2}H = 0
$$
Espero que esto ayude. De nuevo me gustaría encontrar ese libro a ver todas las derivaciones. No sé si la sección visible del libro en Google te muestra todo lo que usted necesita saber, pero sin duda espero esto apunta en la dirección correcta para la comprensión del problema.
