Probabilidad de eventos condicionada a que uno de los eventos no se produzca

Question

Supongamos que tengo una variable aleatoria $X \in \{1,2,3\}$ con pmf,

$$ p(x) = [ p_1, \ p_2, \ p_3] $$

tal que $p_1 +p_2 +p_3 =1$ .

Me gustaría encontrar la probabilidad $P(X=x | x \ne2)$

Eso es,

$$ P(X=x |x \ne 2) = \frac{P(X=x,x\ne2)}{P(x\ne2)} $$

Ahora, $P(x\ne2) = P(x=1,x=3) =1-p_2$

Pero tengo dificultades para calcular $P(X=x,x\ne2)$ .

Creo que de alguna manera eso $p_2$ se distribuye a los eventos $x=1$ y $x=3$ . Pero no estoy seguro de cómo se distribuye.

Escribí la matriz de probabilidad condicional para los eventos $x\ne2$ y $x=2$

$$ \begin{array}{l|ll} P(X|X\ne 2) &1 &2 &3\\ \hline 1 &? &0 &?\\ 0 &0 &1 &0 \end{array} $$

Desde $P(X|X=2) = [0,\ 1,\ 0]$

He leído que cuando eventos como $X$ son particiones del espacio muestral que debe ser $\sum_x P(X=x|x\ne2) =1$ . Así que las filas deben sumar uno en la matriz de probabilidad condicional.

Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias.

Answer 1

$\displaystyle \small P(X=x |x \ne 2) = \frac{P \big((X=x) \cap (x \ne 2)\big)}{P(x\ne2)}$

$\small P(x \ne 2) = 1 - p_2 = p_1 + p_3$

$\small P ((X=1) \cap (x \ne 2)) = P(X = 1) = p_1$

$\small P ((X=3) \cap (x \ne 2)) = P(X = 3) = p_3$

Así que,

$\displaystyle \small P(X=1 |x \ne 2) = \frac{p_1}{p_1 + p_3}$

$\displaystyle \small P(X=3 |x \ne 2) = \frac{p_3}{p_1 + p_3}$