Elija $\mathbf{B}$ tal que los valores propios son incontrolables

Question

Tengo el sistema de espacio de estado $\dot{x} = Ax + Bu$

con $A = \begin{bmatrix} 1 & -5 \\ -5 & 1\end{bmatrix}$ .

Tengo que encontrar un $B$ vector tal que el sistema tiene $\lambda = 6$ como valor propio controlable y $\lambda = -4$ como valor propio incontrolable.

Creo que puedo elegir cualquiera de los dos $B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ o $B = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ dependiendo de dónde se pongan los valores propios de $A$ en la diagonal. Sin embargo, creo que estoy cometiendo un error...

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Ahora entiendo un poco mejor la pregunta. Pero $\lambda_i$ se dice que es un valor propio controlable si $\text{rank}\begin{bmatrix}A - \lambda_i I & B\end{bmatrix} = n$ .

Así que tengo que encontrar un $B$ para lo cual $\text{rank}\begin{bmatrix}A - \lambda_i I & B\end{bmatrix} \neq n$ para $\lambda_i = -4$ y $\text{rank}\begin{bmatrix}A - \lambda_i I & B\end{bmatrix} = n$ para $\lambda_i = 6$

Answer 1

$\lambda_i$ se dice que es un valor propio controlable si $\text{rank}\begin{bmatrix}A - \lambda_i I & B\end{bmatrix} = n$ .

$\begin{bmatrix} A - \lambda_i & B\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-\lambda_i & -5 & b_1 \\ -5 & 1 - \lambda_i & b_2\end{bmatrix}$

Para $\lambda_i = 6$

$\begin{bmatrix} A - \lambda_i & B\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & -5 & b_1 \\ -5 & -5 & b_2\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} -5 & -5 & b_1 \\ 0 & 0 & b_2 - b_1\end{bmatrix}$ Esto tiene un rango completo para $b_2 - b_1 \neq 0$ .

Para $\lambda_i = -4$

$\begin{bmatrix} A - \lambda_i & B\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -5 & b_1 \\ -5 & 5 & b_2\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 5 & -5 & b_1 \\ 0 & 0 & b_2 + b_1\end{bmatrix}$ Esto no tiene un rango completo para $b_2 + b_1 = 0$ .

Por lo tanto, tome $b_1 = -1$ y $b_2 = 1$ así $B = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$